दिलेली शक्ती = वाढलेली गतीज ऊर्जा = बळाने केलेले काम (Transmission of power = Increase in Kinetic Energy = Mechanical Work done)

विक्रम राजा तसाच नेहमीप्रमाणे चालत निघाला होता. जंगलातली काट्याकुट्यांनी भरलेली आणि अमावस्येच्या अंधाराने अधिकच दुर्गम केलेली वेताळवाट चोखाळत. त्यात पुन्हा खड्डे कुठे,चढ कुठे उतार कुठे, निमुळती-निसरडी वाट कुठे हे आता त्याला ठावूक झालं होतं. शिवाय जंगलातले चांगल्या प्राण्यांचे आवाज कुठले, हिंस्त्र श्वापदे कुठल्या सुरात गुरगुरतात हे ही तो ओळखू लागला होता. येताना कुठे काठीने दाबत यावं लागतं, कुठे एखादा हुप्प्या केळाच्या बदल्यात हाळी देतो हे तो अनुभवू लागला होता. थोडक्यात वनचरही त्याचे प्रजाजन, सभाजन होउ घातले होते आणि राजा त्यांच्यातही सहजतेने माणसाळणाऱ्या प्राण्यांना आपलेपणा दाखवू लागला होता.

“विक्रमा, इथेही राजकारण सुरू केलेस की काय? तुझ्या दरबारात तू जसा तुला गुणी वाटणाऱ्यांना बळ देउन उच्चपदे देतोस व अधिकार देतोस. तुला त्रासदायक वा निरुपयोगी वाटणाऱ्यांना चक्क सेवानिवृत्त करतोस.विरोधात कारवाया करणाऱ्यांना तर निष्कासितच आणि अगदीच राजद्रोह्यांना तर देहांतच. राजा, तू ज्यांना दरबारात मान देतोस, ते लोक मोठ्या अधिकाराने वागू लागतात. त्यांच्या हातात जणू काही अदृश्य शक्ती देतोस. ती शक्ती घेऊन लोक कार्य प्रवृत्त होतात व तुझीच कामे करत राहतात. हे शक्ती देणे तू नेहेमीच्या द्रव्यांच्या बाबतीत दाखवू शकतोस काय?”

वेताळा वैशेषिकामध्ये एखाद्या वस्तूवर बलप्रयोग केल्यावर त्याच्यात होणाऱ्या पाच प्रकारच्या हालचालींची (कर्म) माहिती देण्यात आली आहे. प्रशस्तपादभाश्यम् मध्ये म्हटलंय 

उत्क्षेपणादीनां पंचानामपि कर्मत्वसंबंध:‌|

(स्वैरानुवाद: वर फेकणे इत्यादि पाच प्रकारच्या हालचाली आहेत.)

तत्र (१) उत्क्षेपणं शरीरावयेषु तत्संबद्धेषु च यद् उर्ध्वभाग्भि: प्रदेशै: संयोगकारणं अधोभाग्भिश्च प्रदेशै: विभागकारणं कर्मोप्तद्यते गुरुत्वप्रयत्नसंयोगेभ्य: तत् उत्क्षेपणं |

(शरीराच्या एखाद्या अवयवाचा पदार्थाशी संयोग होऊन तो पदार्थ बाह्यशक्ती आणि गुरुत्वबळ यांच्या संयोगातून होणाऱ्या हालचालीमुळे तो पदार्थ खालील जमिनीपासून दूर होतो. हेच उत्क्षेपण किंवा वर फेकणे.)

(२) तद्विपरीत संयोगविभागकारणं कर्म अवपक्षेणम् |

( या विरुद्ध होणारी हालचाल म्हणजे अवक्षेपण किंवा खाली टाकणे.)

(३) ऋजूनो द्रवस्याग्रावयवानां तद्देशैर्विभाग: संयोगश्च मूलप्रदेशैर्येन कर्मणावयवी कुटिलं संजयाते तत् आकुंचनं |

(मऊ अशा द्रवाच्या बाह्य स्तरावरील पदार्थांचा बलाशी संयोग झाल्यामुळे ते पदार्थ मूळ जागेपेक्षा कमी जागा व्यापतात म्हणजेच त्या पदार्थांचे आकुंचन होणे.)

(४) तद्विपर्ययेण संयोगविभागोत्पत्तौ येन कर्मणावयवी ऋजु: सम्पद्यते तत् प्रसारणम् |

(याच्या विरोधी क्रीया झाल्यामुळे हालचाल झालेला पदार्थाचा भाग आधीपेक्षा जास्त जागा व्यापतो म्हणजेच त्या पदार्थाचे प्रसरण पावणे.)

(५) यदनियतदिक् प्रदेशसंयोगविभागकारणं तद् गमनम् इति |

(पदार्थाशी बलाचा संयोग होऊन निश्चित जागेत पदार्थाची हालचाल होणं म्हणजेच त्या पदार्थाचे गमन होणे. )

उत्क्षेपण(upward motion), अवक्षेपण(downward motion), आकुंचन(shearing motion), प्रसरण(tensile motion) आणि गमन(rectilinear motion) हे ते परिणाम. यापैकी पहिले दोन हे बल आणि गुरुत्वबल यांच्या संयोगातून जन्माला आले. आकुंचनगती व प्रसरण गती हे बाह्यबळ आणि त्या द्रव्याची स्थितीस्थापकता यांच्या संयोगातून मिळाले. तसेच शेवटचा गमन हा भाग तर केवळ बाह्यबलामुळेच जन्माला आला आहे. मग भालाफेक करणाऱ्याने लांबवर पळत जाऊन अचानक भाल्याला शक्ती दिली की तो भाला अतिवेगाने सरसरत आकाशमार्गाने दूरवर जातो आणि पडतो. त्याचे भालाफेक करणाऱ्या खेळाडू पासून दूरवर जाऊन पडणे हे झाले त्याच्याकडून अपेक्षित असलेले कार्य. 

धनुष्याची प्रत्यंचा ही स्थितीस्थापक असते. धनुर्धार्याने ती मूळ स्थानापासून मागे ओढली तेव्हाच त्या धनुर्धाऱ्याने शक्ती दिली त्या दोरीला व ती दोरीने साठवून ठेवली तिला ताणलेल्या अवस्थेत. जेव्हा धनुर्धाऱ्याने बाण लावला व दोरी सोडून दिली तेव्हा त्या दोरीने बाणाला शक्ती दिली व तो बाण सूं सूं करत लक्ष्य वेधण्यासाठी निघाला. जेव्हा त्या बाणाने लक्ष्य वेधले तेव्हा झाले त्याच्याकडून अपेक्षित असलेले कार्य. 

एवढंच काय तर मल्लाने ताकदीने गदा उचलली व त्या गदेने एखादा ठोकळा ढकलला तर झाले त्या गदेकडून अपेक्षित असलेले कार्य.”

“वा विक्रमा, म्हणजे त्वरण(acceleration), विस्थापन(displacement), वेग(velocity) यांच्याशिवाय तुला दुसऱ्या गोष्टीही माहित आहेत तर..बर मला हे सांग की तुम्हा मानवांनी हे कार्य कसं मोजायचं हे पण ठरवलं असेलच नं?”

“होय वेताळा, वैशेषिक तसेच न्यूटन याने सांगितल्याप्रमाणे बाह्यबल हे अनेक विस्थापनांना कारण ठरते. हे बाह्यबळ वस्तूंना त्यांच्या मूळ स्थितीपासून चळायला भाग पाडते. गपचूप पडलेल्या वस्तूंना मूळ जागेवरून दुसरीकडे हलवते आणि ते बळ संपले की वस्तू पुन्हा आपली गप्प पडते. पुन्हा दुसरे बळ येईपर्यंत ती अशीच पडून राहते. पुन्हा धक्का खाल्ला की पुन्हा चालली आपली सरकत सरकत..”

“अरे होरे विक्रमा कळलं..पण त्या वस्तूने केलेले कार्य किंवा खरं म्हणजे त्या वस्तूकडून बळे बळे करून घेतलेले कार्य (work done) ही काय भानगड आहे?”

“वेताळा, मुळात या सर्वांना ऊर्जा अक्षय्यता नियम(law of conservation of energy) बांधून ठेवतो..तो नियम असं सांगतो की ऊर्जा निर्माण होत नाही, नष्ट होत नाही, पण या ऊर्जेचे एका रूपातून दुसऱ्या रूपात रुपांतरण होत राहते. उदाहरण म्हणजे धनुर्धारी ताकदवान आहे. त्याच्या भूजांमध्ये असलेले स्नायू त्याने जेव्हा बाण धनुष्याच्या दोरीवर ताणून धरला तेव्हा ताणले गेले. त्या स्नायूंमध्ये असलेली शक्ती ताणलेल्या दोरीत दिसू लागली. समजा त्याने लावलेले बळ हे F इतके होते. बळ हे न्यूटन मध्ये मोजतात. हे F न्यूटन बळ स्नायूतून दोरीला व दोरीतून बाणाला मिळाले. बाण सुरुवातीला स्थिर होता म्हणजे त्याची प्रारंभिक गती(u) शून्य होती. बाण सोडल्यावर धनुरधाऱ्यापासून s मीटर अंतरावर पडला. तर F बलाने केलेले कार्य झाले F.s न्यूटन मीटर.”

“अरे पण काय ते ऊर्जा अक्षय्यता का काय ते..त्याचं काय झालं?”

“हे बघ वेताळा, एखादी वस्तू जेव्हा स्थिर असते त्या ताणलेल्या प्रत्यंचे सारखी किंवा त्यावर धरलेल्या बाणासारखी, तेव्हा त्यात काही ऊर्जा साठवली गेलेली असते.”

“ऊर्जा साठवली गेली? म्हणजे कोणी साठवली? काय बोलतोयस तू?”

“वेताळा, जेव्हा धनुर्धाऱ्याने ताकदीने ती प्रत्यंचा ओढली व धरून ठेवली तेव्हाच त्यात काही ऊर्जा साठवली गेली. बळ लावलं आणि काहीच कार्य झालं नाही, याचाच अर्थ ते बळ ऊर्जेच्या स्वरूपात साठवलं गेलं. याच ऊर्जेला म्हणतात स्थितीज ऊर्जा(potential energy). जेव्हा तो बाण सुटला तेव्हा त्याला वेग प्राप्त झाला. म्हणजेच त्याला या वेगाने प्राप्त झालेली ऊर्जा म्हणजेच गतीज ऊर्जा(kinetic energy) प्राप्त झाली. आणि या गतीमुळे तो बाण जितका लांब जाऊन पडला(s) त्या प्रमाणात त्या वस्तूकडून कार्य झाले.

हे कार्य म्हणजे त्या बळाचे दिक्(space) नुसार झालेले विकल(position integral) होय.”

“विक्रमा तू तसा नाही ऐकायचास..मला सांग एका मल्लाने जेव्हा गदेने ठोकळा ढकलला, तेव्हा ते बळ F=3x+2 या समीकरणानुसार लावलं गेलं होतं. ठोकळा मल्लापासून ५ मीटर अंतरावर जाऊन विसावला. तर या दरम्यान झालेले कार्य किती?”

“या साठी सर्वप्रथम आपल्याला कार्याचे समीकरण शोधावे लागेल. आपल्याला बळाचे समीकरण माहित आहे आणि कार्य हे बळाचे विकल आहे हेही माहित आहे..”

“थांब थांब..मला ते सिद्ध करून दाखव..”

“बर बर..सोपेपणा साठी आपण समजू की २० न्यूटन एवढे एकसमान बळ ठोकळ्याला ५ मीटर पर्यंत ढकलत गेले. हीच गोष्ट बळ-विस्थापन आलेखात कशी दिसेल?



आपल्या नेहमीच्या तंत्रानुसार या आलेखाचे क्षेत्रफळ म्हणजेच त्याच्या विकलाची किंमत. म्हणूनच असे म्हणू शकतो की या बळाचे विकल म्हणजेच त्या बळाने केलेले काम होय.”

“पण विक्रमा ते बळ २० न्यूटन इतके स्थिर नसून ते 3x+2 या सूत्रानुसार बदलते. तर आता त्या बळाने केलेल्या कामाची किंमत कशी मोजणार?”

“नेहमीप्रमाणेच आपण या बळाच्या सूत्रावरून कार्याचे सूत्र  काढू. बळ 3x+2 असेल तर या एकरेषीय समीकरणाची चढण(slope-m) ही ‘३’ इतकी असेल. या समीकरणाचा आलेख खालील प्रमाणे दिसेल.

 म्हणजेच ती वस्तू ५ मीटर पर्यंत नेण्यासाठी ३७.५ न्यूटन मीटर एवढे कार्य करावे लागेल.”

“पण विक्रमा बळाचे समीकरण एकरेषीय आहे, तर त्याच्या विकलाचे म्हणजेच कार्याचे समीकरण हे वर्गाचे समीकरण असेल ना? मग विकलाच्या सहाय्याने ही किंमत कशी काढता येईल?”

“वेताळा, विकलाच्या भाषेत केलेल्या कार्याचे समीकरण आपण खालील प्रमाणे लिहू शकतो

“पण विक्रमा तू सुरुवात शक्ती पासून केलीस, पण ती शक्ती कशी मोजायची, त्याची एकके काय, शक्तीचा या केलेल्या कार्याशी संबंध काय हे मात्र सांगितलंच नाहीस..नुसता फापटपसारा असतो तुम्हा मानवांचा..कसं कमीत कमी शब्दात जास्तीत जास्त बोलावं म्हणजे शब्दाला ताकद मिळते, मान मिळतो.असो

पण तुला हे सांगायला मला आता सवड नाही व तेवढी ताकदही मला खर्ची घालायची नाही..तू ये पुढच्या अमावस्येला..भेटूच पुन्हा विक्रमा..हाऽहाऽऽहाऽऽ”

“केव्हा हे राजाचं नष्टचर्य संपणार, केव्हा राजा अमावस्येला महालात झोपणार, आणि केव्हा आपण अमावस्येला तबेल्यात निवांत चरत बसणार?” रथाचा घोडा कुरकुरत दुसऱ्याला म्हणाला.

“अरे घोड्या, जास्त कुरकुरण्यात वेळ आणि शक्ती खर्च घालू नकोस. नाहीतर सोट्याच्या मार्फत शक्ती देतील महाराज..मग खिंकाळू नकोस वेड्यासारखा..आणि हो वाढव वेग आता म्हणजे राहिलेल्या प्रहरातील काही वेळ तरी मिळेल झोपायला..उचल पाय भरभर..” दुसरा घोडा त्याला समजावत पळू लागला..

(क्रमश:)

मुख्य पान : विक्रम आणि वेताळ पदार्थविज्ञानाच्याजंगलात 
संदर्भ सूची (Bibliography)

विकलांची गोळाबेरीज: हे n व त्यांची पिल्लावळ कुठून पैदा झाली? (Importance of ‘n’ in integration)

विक्रम राजा नेहमी प्रमाणेच एकांतात तजविजा करीत वेताळाच्या स्थानाकडे निघाला होता. दर अमावास्येच्या रात्रीचा प्रहर आता महालात बसून सारीपाट खेळण्या ऐवजी काही मननात, विचारात जात होता. त्यातही पदार्थविज्ञानाविषयीच्या विचारांमध्ये व त्याचे दैनंदिन जीवनातील उपयोगांविषयीच्या चर्चेत तर वेताळ फारच रस दाखवत होता. पण विक्रमाचे दीर्घविचारी मन प्रजाजनांना केवळ एक संख्या म्हणून मानत नव्हते. उलटपक्षी प्रत्येक प्रजाजनाच्या मनात आनंद असला तर राज्य ही आनंदी होईल या विचाराने तो सतत कार्यमग्न होता. पिंडी ते ब्रह्मांडी या विचाराने तो आपल्या प्रजाजनांच्या लहान लहान सुखांची काळजी घेतली, तर त्याची गोळाबेरीज म्हणजेच राज्याच्या सुखाची काळजी घेतली जाईल असा विचार तो करत होता. आपल्या कामाने प्रजेला अधिकाधिक आनंद मिळून ती अजून सुखी कशी होईल याचा त्याला निदिध्यासच होता.

“विक्रमा, प्रजेच्या सुखाचा एवढा विचार करणारा तू राजा, मी विचारलेल्या प्रश्नांना मात्र नीट उत्तरे देतच नाहीस. मागील वेळी मी क्षणिक बदलांच्या गोळाबेरजेबद्दल (Integration) विचारले तर कुठल्याकुठे गेलास! 

वारुळावर पाय पडल्यावर लाल मुंग्यांनी पायाला कडकडून चावावं किंवा पोळ्याला आग लावल्यावर मधमाश्यांनी हल्ला करून तोंड सुजवावं तसं तुझ्या त्या n च्या मधमाश्या येतच राहिल्या. काय भानगड आहे ही? आणि या n च्या प्रकोपापासून मुक्ती पावावी म्हणून तुम्ही मानवांनी गोळाबेरजेच्या क्लृप्त्या लढवल्या ना? पटकन सांग नाहीतर मीच मधमाश्याच्या झुंडीसारखा तुझ्यावर हल्ला करेन..याद राख..बोल पटकन..”

“वेताळा, मानवाला फार पूर्वीपासून निसर्गातील विविध गोष्टींची मोजमापे करण्याची सवय. आधी लांबी, मग क्षेत्रफळ, मग घनफळ अशी सूत्रे त्याने चौकोन, आयत, वर्तुळ, त्रिकोण, चौरस, भरीव गोल, विटांसारखे आकार, ठोकळे यांसारख्या नियमित वस्तूंसाठी वापरले. पण मजा अशी आहे की निसर्गातील सर्वच आकार असे नियमित नसतात, किंबहुना बरेच वेळा एखाद्या अनियमित आकाराला मानवाची बुद्धी एखादा त्या सारखा दिसणारा आकार सुचवत असते. मानवाला विविध गोष्टींसाठी या क्षेत्रफळांचे मोजमाप करण्याची गरज पडू लागली (आकृती १)”

“अरे पण काय रे हे राजा..यात सगळे आयतच दिसतायत? बाकी आकारांची क्षेत्रफळे तुम्हाला काढता येत नाहीत?”

“हा अंदाजपंचे कार्यक्रमच होता. आयताचे क्षेत्रफळ = लांबी (length) x रुंदी (Width) हे मानवाला खूपच आधी समजले होते. झालं. त्याचाच जिथे तिथे वापर सुरू झाला. मग एखाद्या परिसराचे क्षेत्रफळ असो, कापडाचे क्षेत्रफळ असो, चंद्राचा छायेखालील भाग असो. सर्वच ठिकाणी लहानमोठ्या विविध आकारांच्या आयतांच्या सहाय्याने अंदाज लावण्याचे (approximation) तंत्र पहिल्याप्रथम प्राचीन ग्रीकांनी काढले. 

भारतीय वैशेषिकांनाही याचे ज्ञान होतेच. विविध यज्ञांसाठी वेगवेगळ्या आकाराच्या वेदी तयार कराव्या लागत. त्या तयार करण्याची सूत्र शुल्बसूत्रांमध्ये दिली गेली आहेत. शिवाय विविध दिवशी असणाऱ्या चंद्राच्या कला मोजण्यासाठी आर्यभट्टापासूनच त्रिकोणमितीच्या सूत्रांचा वापर सुरू झाला होता. पण यातील अधिक काम हे साधारण १४ व्या शतकात झालेल्या माधव (इ.स. १३४०-१४२५) इत्यादि केरळी गणितींनी केले. केरळ च्या थ्रिसूर जिल्ह्यातील संगमग्रामच्या या माधवांनी गणित व खगोलविज्ञानाच्या केरळी शाखेची स्थापना केली.”

“अरे त्रिकोणमिती आधीच माहित होती तर माधवांचे विशेष कार्य काय?”

“वेताळा, याच माधवांनी अंदाज लावण्याच्या खटपटींतून आपली मुक्तता करण्यासाठी त्रिकोणमिती आणि संख्यामाला यांची सांगड घातली व त्याची माला तयार केली. त्यांचं वैशिष्ट्य म्हणजे चंद्राचा प्रकाशित भाग रोज कसा बदलत जातो हे त्यांनी रेखांशाच्या (longitude) माध्यमातून मोजायला सुरुवात केली. रेखांश मोजण्यासाठी त्यांनी प्रत्यक्ष निरीक्षणांचा आधार घेतला. रेखांश हे अंशांच्या माध्यमातून व्यक्त केले जातात. थोडक्यात काय तर रोज बदलणाऱ्या चंद्रबिंबाच्या परीघ (circumference) मोजमाप करण्यासाठी त्याने संख्यामाला दिली आहे:

समजा s ही चंद्रकलेची लांबी(length of arc), जीवेची(sine) लांबी y, कोटीजीवेची(cosine) लांबी x आणि वर्तुळाची त्रिज्या (radius) ही r धरूया.

माधवाच्या सिद्धांतानुसार कलेची लांबी(s) ही खालील सूत्राने दिली आहे

s = ((1/1)(y.r/x)+(1/5)(y.r/x)(y²/x²)(y²/x²)+…)-((1/3)(y.r/x).(y²/x²)+(1/7).(y.r/x)(y²/x²)(y²/x²) (y²/x²)+…)  

हीच गोष्ट आधुनिक पद्धतीने लिहायची झाल्यास जर त्या कलेने केंद्राशी केलेला कोन θ इतका असेल तर s=rθ या न्यायाने

rθ = rsinθ/cosθ – (1/3)r(sinθ)³ /(cosθ)³+(1/5)r(sinθ)⁵ /(cosθ)⁵-(1/7)r(sinθ)⁷ /(cosθ)⁷+...

अधिक सोप्या भाषेत सांगायचं झाल्यास

θ = tanθ – tan³θ/3+tan⁵θ/5-tan⁷θ/7+…  

या अनिर्बंध संख्यामालेत (Infinite Series) जितक्या अधिक किंमती घालत जाऊ तितके अचूक उत्तर मिळेल. माधवानंतर ३०० वर्षांनी जेम्स ग्रेगरी नेही हीच माला प्रतिपादित केली. आता सर्वमान्यापणे या मालेला माधव-ग्रेगरी-लिबनिझ संख्यामाला म्हणतात.”

“पण विक्रमा, या संख्यामालांतून मिळणारे कलांचे मोजमाप किती बरोबर आहे हे ते कसे पाहात होते?”

“वेताळा, महर्षि भारद्वाजांनी अंशुबोधिनी या ग्रंथात ध्वांतप्रमापक यंत्राची (spectrometer) रचना दिली आहे..त्या द्वारे दूरच्या ताऱ्यांच्याही प्रकाशाचा अभ्यास करणे शक्य होते..त्या मानाने चंद्र तर अगदीच जवळचा म्हणायला हवा..”

“असो दे  जाऊदे. पण विक्रमा या गोळाबेरजेत n कुठून शिरले हे सांगत का नाहीस?”

“वेताळा हा n म्हणजे खरेतर कितीही लहान किंवा मोठी होऊ शकणारी संख्या. अनियमित, ओबडधोबड आकारात बसणारे आयत किती तर n. कारण किती आयत बसतील हे सांगता येत नाहीत. वर दिलेल्या संख्यामालेत  असे  संख्यांचे किती डबे एकमेकाला जोडावे लागतील, तर ते ही उत्तर n. कारण अचूक उत्तर येण्यासाठी ही बेरजांची गिरणी n वेळा फिरवत बसवावी लागणार आहे. n म्हणजे अनेक एवढाच ढोबळ अर्थ घ्यायचा. किंवा दुसऱ्या बाजूने विचार केल्यास n म्हणजे उत्तर अचूक येण्यासाठी किती वेळा त्या गणिती प्रक्रीयेची आवर्तने करावी लागतील ती आवर्तनांची संख्या. तुम्हाला जितकी अचूकता पाहिजे तितक्या वेळा हे दळण दळत बसा.”

“पण म्हणजे n हे ते लहान मोठ्या आकाराचे आयत?”

“नाही वेताळा, अंदाजाने क्षेत्रफळ काढण्याच्या तंत्रातसुरुवातीला असे केले जाई. पण त्यानंतर मात्र अतिशय लहान(infinitesimal) आकाराच्या एकसमान क्षेत्रफळाचे असे n आयत अशी संकल्पना रूढ झाली.”

“पण अतिशय लहान, अतिशय लहान म्हणजे काय म्हणायचंय तुला? तुम्हा माणसांना इतकी लहान मोजमापे करता तरी येतात का?”

हो वैशेषिकांना लांबीच्या मोजमापाची खालील एकके माहित होती (स्रोत: Physics In Ancient India – N.G. Dongre, S.G. Nene)

वैशेषिक	आधुनिक
८ परमाणु =  १ त्रासरेणू
८ त्रासरेणु = १ रेणु
८ रेणु = १ बालाग्र
८ बालाग्र = १ लिख्य
८ लिख्य = १ युका
८ युका = १ यवा
८ यवा = १ अंगुली
२१ अंगुली = १ रत्नी	10 mm = 1cm
२४ अंगुली = १ हस्त	10 cm = 1 decimetre
४ हस्त = १ दंड	10 decimetre = 1 m
९६ अंगुली = १ दंड	10 m = 1 decametre
२००० दंड = १ क्रोश	10 decametres = 1 hectometre
४ क्रोश = १ योजन	10 hectometre = 1 kilometre
८००० दंड = १ योजन	8 kilometres = 5 miles

“अरे विक्रमा, या दोन मोजमापात काही संबंध आहे की नाही?”

“आहे ना..मीटर आणि दंड या दोन एककांमध्ये तुलना करण्यासारखी आहे. सूर्यसिद्धांतानुसार, पृथ्वीची त्रिज्या ८०० योजने आहे. या ग्रंथाच्या पान २६४ वर श्लोक आहे

एकस्मिन् योजने चत्वार: क्रोशा: प्रतिकोश: सहस्त्रद्वय दण्ड:, प्रतिदण्डं चत्वारो हस्ता:, इत्यादय:‌|

म्हणजे १ योजन = ८००० दण्ड. पृथ्वीची त्रिज्या सेंटीमीटर च्या हिशेबात ६.३७ x १० ^८ सेंटीमीटर एवढी भरते.

म्हणजेच १ योजन = ८००० मीटर. अर्थात १ दण्ड = १ मीटर.

शिवाय १ दण्ड = ९६ अंगुली आणि १ मीटर = १०० सेंटिमीटर. अर्थात १ अंगुली = १.०४१६७ सेंटीमीटर (अंदाजे)” (स्रोत: Physics In Ancient India – N.G. Dongre, S.G. Nene)

“मग राजा या परमाणूचा आकार किती झाला?”

“परमाणूचा आकार १ परमाणू = ०.४९६७ x १०^-८ सेंटीमीटर”

“विक्रमा, हे झाले लांबीचे मोजमाप, पण ज्या काळात हे मोजमाप घेतोयस, त्या काळाची मोजमापे काय आहेत?”

“वेताळा, सूर्यसिद्धांत या ग्रंथाच्या मानाध्यायात कालमापनाच्या ९ पद्धती सांगितल्या आहेत

ब्रह्मं दिव्यं तथा पित्र्यं प्राजापत्यं च गौरवम् |

सौरंच सावनं चान्द्रं आर्क्षं मानानि वै नव ||

अर्थात ब्रह्म, दिव्य, पित्र्य, प्रजापत्य, गौरव, सौर, सावन, चान्द्र, आर्क्ष हे कालमापनाचे नऊ प्रकार आहेत. त्यापैकी सावन दिन आणि आधुनिक दिवस हे सारखे आहेत.

सावन दिन	आधुनिक दिवस
६० विपल = १ पळ
६० पळे = १ घटी (नाडी / दण्ड)	60 seconds = 1 minute
२ १/२ घटी = १ होरा	60 minutes = 1 hour
२४ होरा = १ सावनदिन	24 hours = 1 solar day

“म्हणजे विक्रमा, आधुनिक तास (hour) हा एका  होराइतका असतो.” (स्रोत: Physics In Ancient India – N.G. Dongre, S.G. Nene)

“वेताळा १ तासात १ मीटर विस्थापन ही तितकीशी साधी सोपी गोष्ट नाही. विशेषकरुन कोणती वस्तू/ पदार्थ आहे, तिचा आकार परमाणू एवढा आहे, का केसाएवढा आहे, की भोपळ्या एवढा आहे की पृथ्वीएवढा हे महत्वाचे. तिचा वेग कासवाएवढा आहे, वटवाघळा एवढा आहे, चित्त्याएवढा आहे का थेट प्रकाशाशाशी स्पर्धा करणारा आहे हे पाहून मग t चे लहान लहान तुकडे करावे लागतात. खालील आकृतीमध्ये १ मीटर मध्ये विविध किती प्रकारचे आकार बसू शकतात आणि १ तासामध्ये किती तुकडे (n) होऊ शकतात हे दाखवले आहे.” (आकृती : n च्या किंमती)

“अरेच्चा म्हणजे पहिल्यांदा अनियमित आकाराचे (Irregular shape) क्षेत्रफळ काढण्यासाठी पहिल्यांदा वेगवेगळ्या आकाराचे आयत कोंबणे (approximation), मग आयतांऐवजी संख्यामाला आल्या (number series) व त्यानंतर विकलांच्या गोळाबेरजेचं (Integration) तंत्र अवलंबिलं..पण आकारावरून थेट वेग, त्वरणाकडे उडी कधी मारली?”

“वेताळा जेव्हा या भौतिकराशी एकरेषीय (linear equation) व वर्गसमीकरणांद्वारे(quadratic equation) आलेखाच्या स्वरूपात दाखवायला सुरुवात झाली तेव्हा या राशीच्या विकलेची(anti-derivative) किंमत काढण्यासाठी या आलेखाचे क्षेत्रफळ मोजायचं तंत्र वापरायला सुरुवात झाली.”

“अरे विक्रमा, असे काही अवघड बोलायला लागलास की उदाहरण देत जा बरं? दर वेळी का सांगायला लावतोस?”

“म्हणजे त्वरणासाठीचं समीकरण घेतलं आणि त्याचा आलेख काढला, तर त्या आलेखाचं क्षेत्रफळ म्हणजे वेग, वेगाच्या आलेखाचं क्षेत्रफळ म्हणजे विस्थापन..”

“अरे किती वेळा तेच तेच सांगशील? पण मला सांग, जर एखाद्या बाह्यबलाने १किलोची वस्तू १ मीटर पर्यंत सरकवली तर त्या वस्तूने किती कार्य(work) केले हे तुला माहिती आहे का? की तुम्हा माणसांची बुद्धी या विस्थापन-वेग-त्वरणाच्या चरकातच रुतून बसली आहे..पण हे रे काय हा प्रहर संपला..मला तुझ्या गप्पा ऐकण्यासाठी एका पळाचीच काय एका विपळाचीही उसंत नाही..हा मी चाललो..पुन्हा भेटू राजा..नवीन सांग काही पुढच्या वेळी..तोच तोच पणा पुरे झाला..हाऽहाऽऽहाऽऽऽ”

राजावरचं अरिष्ट टळलं असं वाटलं पण त्याचं हे दुष्टचक्र मात्र चालूच राहणार हे पाहून वनातील पशुपक्ष्यांनी सुस्कारा टाकला. पण विक्रमाने सांगितलेल्या मापांबद्दल सगळेच जण विचार करु लागले. हत्ती किती दंडाचे? हरणे किती हस्तांची? गांडुळे अर्ध्या अंगुळीची की पाऊण, मुंग्यांनी वारुळाबाहेर येऊन त्यांना लागू असणाऱ्या मापाविषयी चर्चा करायला सुरुवात केली,..शेजारच्या तळ्यातला चंद्र ही हसतच होता..तो पृथ्वीला म्हणत होता “या मानवांच्या मोजमापांच्या कचाट्यातून आपण तरी कुठे सुटलोय?”

(क्रमश:)

मुख्य पान : विक्रम आणि वेताळ पदार्थविज्ञानाच्याजंगलात 
संदर्भ सूची (Bibliography)