क्षणिक बदलांची गोळाबेरीज व संख्यामालिका : अंदाजातील अचूकतेकडे मारलेली हनुमानउडी (Integration and number series : Quantum leap towards exactness in approximations)

पुन्हा तोच चंद्रविरहित प्रहर, पुन्हा तो रातकिड्यांच्या आवाजाने भरलेला आसमंत, पुन्हा नव्याने ऐकू येणारी शिकार झालेल्या वनचराची वेदनायुक्त विव्हळणी, पुन्हा शिकार केलेल्याने दिलेली उन्मादी डरकाळी, संधीसाधू तरसांनी दरम्यानच्या वेळात केलेली स्वार्थी टेहळणी अशा एक ना अनेक नित्याच्या झालेल्या घटनांची फेरउजळणी ते जंगल राजा विक्रमाला करून देत होते. परंतु प्रजाहितदक्ष राजाला या भयावह घटनाचित्राची दखल घ्यायला सवड होतीच कुठे? त्याचे मन नेहमीप्रमाणेच त्याच्या प्रजेच्या हिताची चिंता करण्यात मग्न झालेलं होतं. त्याने सवयीने लावलेले अंदाज आणि प्रत्यक्ष निरीक्षण यातून त्याच्या अंदाजांना अधिकाधिक अचूक कसं करता येईल याकडे त्याचं मन वेधलं गेलेलं होतं.

नेहमीप्रमाणेच विक्रमाच्या विचारांना नितळ पाण्यात विहरणाऱ्या चंचल माश्यांइतकं स्वच्छपणे पाहू शकणाऱ्या वेताळाने तो विचार आणि तो क्षण एकदमच पकडला व त्याच्या खांद्यावर स्वार होत म्हणाला, “इतकी सूत्रे, इतके नियम, इतके वाद-अपवाद, आलेख, समीकरणे मांडूनही तुम्हा मानवांची बुद्धी बदलांची अचूक गोळाबेरीज करूच नाही शकली? यावर तुम्हाला उपाय नाहीच मिळाला? पण मी तुला इतकं मोघमपणे विचारणार नाही. मला सांग, एक पोलादाचा गोळा एका मल्लाने उचलून सर्वशक्ती निशी जोरात खाली जमिनीवर फेकला. त्यामुळे तो गोळा वेगाने घरंगळू लागला. तुमच्या समीकरणाच्या भाषेत त्याचा वेग v(t) = 3t या सूत्राने दाखवता येत असेल तर तो गोळा कोणत्याही विशिष्ठ क्षणी त्या मल्लापासून किती अंतरावर असेल? शिवाय आपण असे समजू की मल्ल हा आरंभस्थानापासून १० मीटर अंतरावर आहे व तेथून गडगळू लागला. म्हणजे प्रवासाची सुरुवात त्या गोळ्याने आरंभस्थाना पासून १० मी. अंतरावर सुरु केली. 

सांग विक्रमा सांग..इतके दिवस मी विचारलेल्या प्रश्नांची काही बाही उत्तरे देऊन तू माझ्या तावडीतून सुटत आलास. पण आजच्या अमावस्येला लोपलेला चंद्र तुझ्या आयुष्यात  पुन्हा कधीच उगवणार नाहीये..हो मरणाला तयार...हाऽहाऽऽहाऽऽऽ!!!”

रानाच्या हृदयाला चिरणारी भीषण शांतता तेथील स्थिरचर-वनचरांना जागच्याजागीच थिजवून गेली. भीषण आवाज करणाऱ्या वटवाघळांनी, थंडरक्ताच्या विषारी सर्पांनी, अजगारांनी, घुबडांनी विक्रमाचे पार्थिव मिळण्याच्या लालसेने या घटनास्थळाकडे अपेक्षेने धाव घेतली...विक्रम उत्तर देतो की शरणागती पत्करून वेताळाकडे प्राणांची भीक मागतो याकडे सर्वांचे कान लागलेले होते...काळ फार संथपणे पुढे सरकत होता..

“वेताळा, या पद्धतीचे प्रश्न माणसांना फार पूर्वी पासून पडत आले आहेत. तुझ्या प्रश्नाचे चांगले उत्तर मी देइनच आणि ते शोधण्यासाठीच्या पद्धती कशा विकसित झाल्या तेही मी सांगतो. तू दिलेल्या उदाहरणावरून आपल्याला हे लक्षात  येते की आपल्याला वेगाचे सूत्र माहित आहे. हे एकरेषीय समीकरण (Linear Equation) आहे. शिवाय आपल्याला हे सुद्धा माहित आहे की वेग (velocity) हा विस्थापनाचा (displacement) विखंडित(first derivativeवेग हा विस्थापानाचा विखंडित आहे. म्हणूनच वेगाचे हे सूत्र आपण खालीलप्रमाणे लिहू शकतो

f’(t) = 3t.

आणि त्याचा आलेख खालील प्रमाणे दिसतो

या सूत्रावरून विस्थापनाचे सूत्र मांडायचे झाल्यास ते खालीलप्रमाणे मांडता येते:

f(t) = 3t²/2 + c.

या ठिकाणी c या स्थिरांकाची किंमत 10 एवढी आहे. त्यामुळे विस्थापनाचे वर्गसमीकरण (Quadratic Equation) पुढील प्रमाणे लिहिता येईल: 

f(t) = 3t²/2 + 10.

आणि त्याचा आलेख खालील प्रमाणे दिसतो

“अरेच्चा विक्रमा एकरेषीय समीकरणाच्या पोटातून वर्गसमीकरण बाहेर आलं? म्हणजे ही बदलांची गोळाबेरीज करताना समीकरणातील चलाचाही वर्ग, घन होतो? समीकरणच बदलते?”

“होय वेताळा, खूपच अचूक निरीक्षण..”

“ बर बर, पुढे बोल..”

"मल्लाने ज्या क्षणी गोळा फेकला तो क्षण म्हणजे t = 0 धरला तर त्या क्षणी असलेला वेग म्हणजे ० आणि त्या क्षणीचे विस्थापन १० मीटर होय. पाहिल्या सेकंदाला असलेला वेग म्हणजे f’(3)= 3 मी/सेकंद. त्या वेळेपर्यंत झालेले विस्थापन f(3)= 3/2 + 10 = 11.5 मीटर.

पण एक सेकंद हा ही दहा भागात विभागला तर ०.१ एवढ्या सेकंदात झालेले विस्थापन पहायचे झाल्यास f’(0.1) = 3(0.1) = 0.3मी/सेकंद. त्याक्षणाचे विस्थापन f(0.1)= .3 * .1 = .03 मीटर. अशा क्षणिक विस्थापनांची बेरीज खालील पद्धतीने दाखवता येईल:

(0.0)(0.1)+(0.3)(0.1)+(0.6)(0.1)+...+(2.7)(0.1)=1.35.

या हिशोबाने पाहू गेल्यास मल्लापासून तो गोळा 11.35 मीटर अंतरावर पोहोचलेला असेल. या हिशोबाने पाहू गेल्यास पहिल्या सेकंदात मल्लापासून तो गोळा 11.35 मीटर अंतरावर पोहोचलेला असेल.समजा t=0 ते t=2 सेकंद याकालावधीतील प्रत्येक सेकंदाचे १० भाग केले, म्हणजे एकूण २० भाग केले तर त्या सूक्ष्म कालांमधील विस्थापने खालील आलेखाने दाखवता येतील.

“अरे विक्रमा, आधीच्या आलेखात t=0 ते t=2 हा आलेख सरळ वाटत होता. पण आता तर तो थोडा वक्राकार होत चालला आहे..”
“बरोबर वेताळा, जसं जसं सूक्ष्मात जाऊ तसे कंगोरे अधिकाधिक स्पष्ट होतात, अधिक तपशील दिसतात, तसं आहे ते..”
“बरोबर..हे म्हणजे भिंग जसं शक्तिशाली होत तसं अधिक सूक्ष्म गोष्टी दिसू लागतात. दुरून सरळ दिसणाऱ्या, व्यवस्थित आकार असणाऱ्या वस्तूंचा ओबडधोबडपणा दिसावा तसं वाटतंय..असो..तू बोलत रहा.. ”

“बरं..वर मिळालेलं उत्तर तितकंसं बरोबर नाही हे आपल्याला माहित आहे, कारण पहिल्या ढोबळ पद्धतीवरून आपल्याला कळलंय की विस्थापन ११.५ मीटर एवढे झालेले आहे. मग हा फरक भरून काढण्यासाठी काय करता येईल? 

तर या 0.1 सेकंद कालावधीचेही दहा भाग करू, म्हणजे मिळेल 0.01 सेकंद. तर या दर 0.01 सेकंदांना होणाऱ्या सुमारे १०० छोट्या छोट्या विस्थापनांची बेरीज करत जाऊ:

(0.0)(0.01)+(0.03)(0.01)+(0.06)(0.01)+…+(2.97)(0.01)=1.485 मीटर इतकी ती बेरीज भरते. ”

“अरे विक्रमा ही बेरीज तर ०.१ सेकंद धरून केलेल्या बेरजेपेक्षा जास्त अचूक वाटते. पण दर वेळेला १०० बेरजा करायच्या?”

“एक वेळ वेताळ या बेरजा करेलही, पण माणूस करणार नाही. अशा ठिकाणी संख्यामाला (number series) ची संकल्पना माणसाने काढली. करायचे असे की या काळाचे n एवढे तुकडे करायचे. काळ t=0 असताना वेग असेल (0.0)(1/n)=0.

पाहिल्या कालावधीत म्हणजे t=1/n ते  t=2/n या कालावधीत गोळ्याने केलेला प्रवास असेल : 

3*(1/n)*(1/n)= 3/n²मीटर. 

या कालावधीला जर आपण एक आकडा i दिला तर त्या काळाच्या i व्या तुकड्यात त्या गोळ्याने कापलेले अंतर असेल (3(i-1)/n)(1/n)=3(i-1)/n².

तर 0*(1/n) पासून सुरुवात करून व त्यानंतर  अशा काळाच्या तुकड्यां(i) मध्ये १ ते n-1 असे आकडे टाकत गेले तर विस्थापनाचे सूत्र खालील प्रमाणे मिळते:

0*(1/n)+ 3(1/n²)+3(2)(1/n²)+3(3)(1/n²)+…+3(n-1)(1/n²) असे उत्तर मिळेल.”

“अरे विक्रमा हा कुठला n चा पाढा वाचतोयस? कायहे सारं? किती झालं विस्थापन कळतच नाहीये या लांबड्या सूत्रातून?”

“सांगतो सांगतो. थोडं सोपं करुया. 3 आणि (1/n²) हा भाग समान काढला तर:

3/n²(0+1+2+3+…+(n-1)).

म्हणजेच (n-1) इतक्या पूर्ण संख्यांच्या बेरजेच्या (1/n²) पट विस्थापन असेल.

दुसऱ्या एका सूत्रानुसार पहिल्या k इतक्या पूर्णांकांची बेरीज 1+2+3+4+…+k = k(k+1)/2.

आता याठिकाणी k=(n-1) ठेवले तर 1+2+3+4+…+(n-1)= ((n-1)n)/2= (n²-n)/2.

याचा वापर करून कापलेले अंतर पुढील सूत्राने मिळते :

(3/n²)((n²-n)/2)=(3/2)((n²-n)/n²)=3/2((n²/n²)-(n/n²))=3/2(1-1/n) ”

“अरे काय हे विक्रमा..पुन्हा n चा पाढा..विस्थापन किती झाले?”

“वेताळा यात आता n साठी आकडे घालू. विस्थापनासाठी लागलेल्या काळाचे १० भाग केले, n=10, तर विस्थापन = 3/2(1-1/10)=3/2(1-0.1)=(1.5)(0.9)=1.35

काळाचे १०० भाग केले, n=100, तर विस्थापन=(1.5)(1-1/100)=1.5*(1-0.01)=1.485

काळाचे १००० भाग केले, n=1000, तर विस्थापन=(1.5)(1-1/1000)=1.5*(1-0.001)=1.4985

काळाचे १०००० भाग केले, n=10000, तर विस्थापन=1.5(1-1/10000)=1.5*(1-0.0001)=1.49985

काळाचे १,००,००० भाग केले, n=1,00,000, तर ..वि..”

“बास बास..आम्ही वेताळ डोक्याची १०० शकले म्हणजे भाग करतो..पण तू तर काळाचे १,००,००० भाग करायला निघालास..आणि माझ्या हेही लक्षात येतंय की n जसा वाढतोय, अगणिता कडे(Infinity) जातोय,  तसं उत्तर १.५ च्या अधिकाधिक जवळ येत चाललंय..”

हो वेताळा, हीच गोष्ट फलिताच्या (function) च्या स्वरूपात अधिक सोपी करून सांगायची असल्यास...आपण ते फलित (v=3t) मर्यादित स्वरूपात विचारात घेउन करु शकतो. उदाहरणार्थ काळ t=a पासून ते t=b पर्यंतचा विचार केल्यास

t=a होईपर्यंत झालेले विस्थापन s(a)= 3(a²)/2+ k

t=b होईपर्यंत झालेले विस्थापन s(b)=3(b²)/2 + k

मग a ते b या काळात झालेले विस्थापन = 3(b²)/2-3(a²)/2

आता याठिकाणी विस्थपनासाठी लागलेला काळ(t)=(b-a). या काळाचे आपण n तुकडे केले तर प्रत्येक तुकडा(Δt) आपल्याला पुढील सूत्राने मिळेल : Δt=(b-a)/n.

या कालावधीचा पहिला तुकडा आपल्याला a+(i-1)(b-a)/n या सूत्राने मिळेल, त्या कालावधीला आपण t_i-1 असे म्हणूया. मग त्या कालावधीतील विस्थापन f(t_i-1)* Δt इतके असेल. तर त्या गोळ्याचे विस्थापन साधारणपणे

f(t₀) Δt+f(t₁) Δt+f(t₂) Δt+…+f(t_n-1) Δt

हीच गोष्ट बेरजेच्या स्वरूपातलिहायची झाल्यास ती अशी दाखवता येईल

 f(t₀) Δt+f(t₁) Δt+f(t₂) Δt+…+f(t_n-1) Δt

वर पाहिल्याप्रमाणे n ची किंमत अगणिता कडे नेत गेलो तर उत्तर अचूक मिळेल..म्हणून n ची किंमत ∞ (Infinity) कडे नेत असता (आकृती १)

“बापरे विक्रमा, आता या अदृश्य भूतांवर सोटा उगारण्या पर्यंत तुमची मजल गेली. हद्द झाली तुम्हा मानवांची..पण मला हे सांग की मोजमाप सुरु करण्याआधी(t0) त्या फलिताची काही ठरीव किंमत असेल: f(t0) तर हे समीकरण कसे लिहिशील?”

“वेताळा, आपण गतीसमीकरणांचे उदाहरण घेऊन बोलूया. समजा एक वस्तू आरंभस्थाना पासून s0 एवढ्या अंतरावर असताना बाह्यबला मुळे ती t एवढ्या कालापर्यंत पुढे जात राहिली तर t0 ते t या कालावधीतील विकलांच्या (definite integral) भाषेत तिचे समीकरण खालीलप्रमाणे लिहिता येईल (आकृती २)

“विक्रमा  हे अजूनही क्लिष्टच वाटते. ती गतीसमीकरणे की काय तू सांगितली होतीस, ती या समीकरणावरून सिद्ध करून दाखव बरं..अरे पण हे काय तुझ्या लांबड्या गप्पांमध्ये एक प्रहर टळून गेला तरी मला अपेक्षित उत्तर मिळाले नाही..निदान माझे उत्तर देण्यासाठी तरी तुला मी जिवंत ठेवतोय..आज वाचलास..पण नेहमीच नशीब साथ देईल असे नाही..पुन्हा भेटू राजा..हाऽहाऽऽहाऽऽऽ”

विक्रम राजा वरचं संकट यावेळेस तरी टळलं या विचाराने जंगलातल्या सर्व स्थिरचरांनी सुटकेचा निश्वास टाकला..कोणत्या तरी त्या विकला बद्दल बोलल्यामुळे तो वेताळ विक्रमराजाला मारु शकला नाही. त्यामुळे हा विकलाचा कोणतातरी अक्राळ विक्राळ सोटाधारी(∫) आग्यावेताळच असावा असे सर्वांना वाटले व सर्वांनी या महावेताळाचे आभार मानले.  

(क्रमश:)

मुख्य पान: विक्रम आणि वेताळ पदार्थविज्ञानाच्या जंगलात

ब्रह्मगुप्ताची वर्गसमीकरणाची उकल आणि गतीचे दुसरे समीकरण (Brahmagupt’s solution for the quadratic equation and the second kinematic equation)

वरवर पाहता दोन अजिबात संबंध नसणाऱ्या गोष्टींमध्ये जो संबंध लावू शकतो आणि त्याच्या आधारे आपल्याला हवी ती गोष्ट जो माहिती करून घेऊ शकतो आणि त्याचा इतर दोन गोष्टींवर होणारा संबंध जो जाणतो तो खरा द्रष्टा, तो खरा ज्ञानी. पावलाच्या ठशावरून वाघ आहे का सिंह हे जो ओळखतो तो वाटाड्या, पण केवळ ठशावरून जो प्राण्याचा स्वभाव ओळखतो आणि त्याच्या पासून होणाऱ्या धोक्याची पूर्वसूचना योग्य वेळी देतो तो खरा ज्ञानी. विक्रम राजा हा तर महाज्ञानी. बुद्धिबळाच्या पटावर शत्रूच्या पुढच्या चार चाली जाणून त्यावर प्रतिचाल करण्याची त्याची सवय. निसर्गाच्या बदलत्या लहरींच्या भविष्यात होणाऱ्या परिणामांचा अंदाज बांधून त्यातून प्रजाजनांची कशी दैना होणार नाही याच्या उपाययोजनांची सूत्रे तो मानातच जोखत होता. या सूत्रांची पडताळणी आपल्या अनुभवांच्या/निरीक्षणांच्या आधारे करत होता.

“काय रे राजा, तुम्हा मानवांचा या समीकरणांवर फारच भर असतो. शिवाय तुम्ही लोक आलेखही काढता. तू म्हणालास तसे एकसमान सरासरी गती (constant average velocity) असताना विस्थापनाच्या रेषीय समीकरणात (linear equation of displacement) त्याचा पहिला विकलीत किंवा विखंडित (primary derivative) वेग हा त्या रेषेच्या चढणीच्या किंवा उतरणीच्या(slope of the line graph) स्वरूपात दडलेला असतो. पण एखादा चोर हुडकून काढावा तसे शोधणाऱ्याला कुठे शोधायचे ते माहिती पाहिजे. तीच गत एकसमान त्वरण (constant acceleration) असताना जर वेग-काळ आलेख काढला तर ते त्वरण सुद्धा त्या रेषेच्या चढणीच्या स्वरूपात येउन दडतेच. गरज असते ती फक्त आलेखाद्वारे त्या त्वरणाचा माग काढायची. पण मला ही माहिती अपुरीच वाटतेय. मी तुम्हा मानवांना जर नीट ओळखत असेन तर तुम्ही माणसं पक्की आळशी आणि कामचुकार असता. थोडक्या कष्टांमध्ये अधिकाधिक काम कसे करता येईल हे पाहात असता. असलेल्या गोष्टीपेक्षा जास्तच तुम्हाला हवं असतं. तुम्हाला चाकाचा शोध लागला मग तुम्ही चाकांवर चालणाऱ्या घोडागाड्या आणल्या. घोड्यांचा वेगात समाधान झालं नाही म्हणून गाड्या काढल्या, गाड्यांनी समाधान होइना मग विमानं काढली असो. त्यासाठीच्या संधी तुम्ही कायम शोधत असता. हे जर खरं असेल तर विस्थापनावरून थेट त्वरण कळून घेण्यासाठी तुम्ही काहीतरी शोधलंच असेल नाही का? बरोबर आहेना मी म्हणतो ते?”

“वेताळा तू उपहास करतोयस की कौतुक हेच कधी कधी समजेनासं होतं. तू पूर्वीच्या जन्मी कधी भारतदेशातील पुण्यनगरीत जन्माला आला होतास की काय अशी शंका वाटते..”

“विक्रमा ही विनोद करण्याची वेळ नव्हे..य:कश्चित मानवांबरोबर करावयाचे विनोद इथे नकोत..लवकर सांग..”

“वेताळा तुझं निरीक्षण नेहमीप्रमाणेच निर्विवादपणे अचूक आहे. खरे तर मानवाने बुद्धीचा वापर विधायक गोष्टींसाठी केला तर तो एकच गणिती सूत्र ज्ञानाच्या विविध शाखांमध्ये करून वेगवेगळ्या गोष्टी साध्य करू शकतो. विविध ज्ञानशाखा या एकाच गोष्टींकडे बघण्याचे विविधरंगी चष्मे आहेत एवढेच. त्यातून ज्या गोष्टीचा अभ्यास चालला आहे तिच्याविषयीची सर्वच माहिती मिळेल असे नाही. आता  हेच पहा ना..गणितातील (algebra) वर्गीय समीकरण(quadratic equation) हेच मानवाने विस्थापनापासून त्वरण मिळवण्यासाठी वापरले.”

“बघ मी म्हटलं होतं ना! पटकन सांग यामागे तुम्ही काय डोकं चालवलंय ते..”

“वेताळा वर्गीय समीकरण हे सर्वसाधारण पणे ax2 + bx + c = 0 या सूत्राने दर्शविले जाते. Y = mx + c या एकरेषीय समीकरणा प्रमाणेच याही समीकरणात x हेच मोजपट्टीसाठी वापरले जाणारे चल (variable) आहे. मजा अशी आहे की या समीकरणातील a ची किंमत आपण ० केली तर हे समीकरण bx = c एवढेच उरते.”

“अरेचा म्हणजे a जर शून्य झाला तर वर्गसमीकरण हे एकरेषीय समीकरणच होते. पण याचा व्यवहारात काय उपयोग. उगीच हा शून्य झाला तर असे आणि नाही झाला तर तसे ह्याला काही व्यवहारात अर्थ असला पाहिजे की नाही?”

“आहे जरूरच आहे. ब्रह्मगुप्त या प्राचीन भारतीय गणितज्ञाने वर्गसमीकरणे ० बरोबर पहिल्याप्रथम सोडविली (इसवीसन ५९८ - ~ ६६५) आणि या समीकरणाला ax2 + bx = c  असे मांडले. ब्रह्मगुप्ताने ब्रह्मस्फुटसिद्धांत या ग्रंथाच्या १८ व्या प्रकरणात या समीकरणाची उकल पहिल्याप्रथम एकरेषीय समीकरण स्वरूपात
x=(-b+√(b^2+4ac ))/2a
अशी मांडली. यात नंतर सुधारणा झाल्या तरीही ब्रह्मगुप्ताने पहिल्यानेच इतकी चांगली व अचूकतेच्या जवळ जाणारी उकल सांगितली. हा ब्रह्मगुप्त गणित आणि खगोलशास्त्राच्या अनेक शाखांमध्ये पारंगत होता. त्रिकोणीय भूमिती मध्ये पायथागोरसचा सिद्धांत पाळणाऱ्या संख्यांची मालिका यानेच सांगितली. शून्याचा एक संख्येच्या स्वरूपात उपयोग यानेच केला. π ची किंमत त्यानेच ३ इतकी वापरली.”

“विक्रमा हा ब्रह्मगुप्त नि:संशय एक महान गणिती होता हे मान्य. पण या वर्गसमीकरणाचा पदार्थ विज्ञानाशी संबंध काय तो सांग..”

“वेताळा ax2 + bx + c या समीकरणात a ची किंमत शून्य झाली तर ते एकरेषीय समीकरण होते. समजा एखादी वस्तू एकसमान वेगाने प्रवास करत असेल तर तिचे त्वरण(acceleration) शून्य असते. जर वर्गसमीकरणात a ची किंमत शून्य नसेल तर ते समीकरण आपण एकसमान त्वरण (constant acceleration) असलेल्या गतीसाठी आपण वापरू शकतो. पण असे करताना आपल्याला याचा उपयोग एखाद्या सूत्रासारखा करावा लागतो. ते सूत्र म्हणजे वर्गीय सूत्र (quadratic formula). हे सूत्र y = ax2 + bx + c अशा रितीने लिहिले जाते.”

“विक्रमा, याचा संबंध कोणत्या गतिविषयक समीकरणाशी लावुन दाखव मग?”

“हो हो का नाही? वेताळा, s = ut + at2/2 या समीकरणात जर त्वरण म्हणजे a ची किंमत जर शून्य नसली, म्हणजेच वस्तूचा वेग एकसमान दराने वाढत किंवा घटत असला तर हे समीकरण आपण वर्गसमीकरण म्हणून वापरू शकतो. याच समीकरणाची वेगळी मांडणी केली व विस्थापन(s), प्रवासाचा काळ(t), सुरुवातीचा वेग (u) माहित असला तर आपल्याला थेट त्वरण(a) किती आहे ते मोजता येते.”

“पण राजा, या समीकरणाचा उपयोग करून तू काही आलेख काढशील की नाही? सगळंच हवेत चालल्यासारखं वाटतंय”

“होय सर्वप्रथम हे सांगितलं पाहिजे की या समीकरणात केवळ काळ(t) हेच चल घेतलं आहे. काळाच्या मोजपट्टीवर विस्थापन मोजलं आहे. शिवाय वस्तूची आरंभस्थिती जर आरंभबिंदूपाशी नसली तर वस्तूची मूळस्थिती S0 या अक्षराने दाखवू. वस्तूचा आरंभीचा वेग u इतका होता. वस्तूला मिळालेले एकसमान त्वरण a इतके होते. या संदर्भात दुसरे गतीसमीकरण वर्गसमीकरणासारखे दिसू लागते. (आकृती १)

“विक्रमा काही उदाहरण घेऊन सांग.”
“हो..जर वस्तूचा वेग वाढत(acceleration) असेल उदाहरणार्थ: s0 = 1, u = 2, a= 3 तर गतीचे समीकरण s = 1+2t+3t2 /2 असे होते व  आलेख खालील प्रमाणे येतो

पण जर वस्तू समजा सुरुवातीला ३०मी/सेकंद वेगाने जाऊ लागली व नंतर तिचा वेग घटत गेला (deceleration). उदा.s0 = 1, u = 30, a= -3 तर गतीचे समीकरण s = 1+30t-3t2 /2 असे होते व  आलेख खालील प्रमाणे येतो 

“वेताळा आपल्या उदाहरणांमध्ये काळ हा ऋण नसल्याने Y अक्षाच्या एकाच बाजूचे आलेख आहेत. पण यावरून तू कल्पना करू शकतोस की त्वरणाचा आलेख कायम कढई सारखा (parabola) व मंदनाचा आलेख पिंडीसारखा (Inverse parabola) येतो. शिवाय त्वरण वाढते तसे हा कढई सारखा आकार निमुळता  होत जातो.”

“राजा मला हे लक्षात येतंय की तुम्ही वेगवेगळ्या कारणांसाठी वेगवेगळी समीकरणे बदलता. विखंडन(differentiation) करता. वर्ग(square) करता, आलेखाद्वारे चढण(slope) काढता. पण मला सांग जर मला वेगाकडून विस्थापनाकडे जायचं तर मी काय करू? किंवा त्वरणाकडून वेगाकडे जायचं तर ते आलेखाद्वारे कसे करायचे? का अभिमन्यूसारखा चक्रव्यूह भेदून तुम्ही यातच अडकलात? विखंडिता कडून मूळ राशीकडे कसे परत जाता? पण ते असो. माझी मात्र जायची वेळ झाली आणि मला जायचा रस्ताही माहिती आहे. पुन्हा भेटू राजा..हाऽहाऽऽहाऽऽऽ ”

वटवाघळे, घुबडे, रातकिडे या साऱ्यांनीच हे संभाषण ऐकले. वर्गसमीकरणाशी आपल्या प्रवासाचा संबंध कसा आहे. आपला आधीचा वेग, प्रवासाचा काळ, कापलेले अंतर मोजण्याची सर्वांनीच सोय केली व सारेच प्रवासाला निघाले. जंगल या सर्वांच्या वर्दळीने गलबलून गेले...विक्रमाच्या रथाचे घोडे मात्र राजा हा चक्रव्यूह कसा भेदणार या चिंतेतच होते...

(क्रमश:)

मुख्य पान: विक्रम आणि वेताळ पदार्थविज्ञानाच्या जंगलात