वेग = विस्थापनाच्या रेषीय समीकरणाची चढण (velocity = slope of the linear equation of displacement)

विक्रम हा एक राजा. ‘राजा कालस्य कारणम्’ या न्यायाने आजुबाजूला घडणाऱ्या गोष्टींची माहिती त्याला असणं साहजिकच. आणि बऱ्याचश्या आर्थिक, सामाजिक धोरणांचा तोच कर्ता-करविता. राज्यात हे सर्व करायला अष्टप्रधान, सेवक, अधिकारी असले तरीही सर्व राज्याच्या रथाची सूत्रे राजाच्याच हाती. वरवर पाहणाऱ्याला प्रत्यक्ष राजाचा सहभाग दिसत नसला तरीही जाणकाराला मात्र तो जाणवल्या शिवाय राहत नसे. फलिते काही असली तरीही सर्व सूत्रे व समीकरणे राजाच्याच दरबारातून आणि खलबतखान्यातून हलविली जात.

अश्याच काही भावी समीकरणांची जुळवाजुळव राजाच्या मनात चालली असतानाच वेताळ राजाच्या पाठीवर स्वार होत्साता म्हणाला. “राजा एक चक्रवर्ती राजा म्हणून तुझ्या मांडलिक राजांना एवढ्या समीकरणांत बांधून ठेवलंस..मग विस्थापन-वेग-त्वरणादि भुतांच्या पिल्लावळीला का मोकाट सोडलयंस? का तू माझ्या पासून काही लपवित आहेस? विखंडन (differentiation or derivative ) पद्धतीचे पुराण सांगत बसलास तेव्हाच मला खात्री झाली होती की तुझी ती मुंगी झाडावर चढताना तिच्या मागे मागे जाऊन मोजमापे घेण्याइतके तुम्ही मानव कष्टाळू मुळीच नाही आहात. यासर्व विस्थापनांना त्यांच्या विकलनाशी म्हणजेच वेगाशी, किंवा वेगाला त्याच्या विकलानाशी बांधणाऱ्या काही युक्त्या तुम्ही शोधल्या असणारच..बऱ्या बोलानं सांग..नाही तर तुझ्या तलवारीने तुझेच खंड खंड करीन!”

“सांगतो वेताळा सांगतो..एखाद्या वस्तूला बाह्यबलाने ढकललं. त्याकारणाने ती वस्तू मूळ स्थानापासून दुसऱ्या ठिकाणी जाऊन विसावली. दरम्यानच्या t एवढ्या काळात तिचं s इतकं विस्थापन झालं. याठिकाणी जसा जसा काळ पुढे सरकतो तशी वस्तू जागा बदलत असल्याने वस्तूचे जागा बदलणे हे काळाच्या परिभाषेत मांडल्यास विस्थापन हे काळाचे फलित आहे (Displacement is a function of time) असे म्हणू.

S = f (t)
यात विस्थापनाची जबाबदारी मात्र काळावर ठेवलेली नाही. ते घडतंय बाह्यबलामुळेच. पण काळाचे टिकटिकणे पृथ्वीवर सर्वठिकाणी एकसमान असल्याने त्याचा केवळ संदर्भ आपण घेतोय. जसा काळ जातोय तसं विस्थापन मोजतोय. म्हणूनच या ठिकाणी काळ हा निरीक्षकाच्या स्थितीगती चौकटीतूनच पुढे सरकतोय. त्या सरकणाऱ्या काळाच्या आधारे निरीक्षकच विस्थापनादि मापे घेतोय.”

“फलित? ही काय भानगड आहे? त्याचा या सर्वांशी काय संबंध?”

“वेताळा..या पारंपारिक पदार्थविज्ञानाचा पाया हा ‘कारण-परिणाम’ (cause-effect) साखळीवर नितांत विश्वास ठेवतो. बाह्य बल (external force) हे कारण (cause)..विस्थापन(displacement) हा दिसणारा परिणाम(effect). काळ(t) ही झाली ते मोजायची स्थिर मोजपट्टी. अगदीच सोपं उदाहरण द्यायचं झालं तर दुधाचं घेता येईल. दूध असलेलं पातेलं घेतलं, त्याला विरजण लावलं तर थोड्या वेळानं दही तयार झालं. मग दही घुसळलं तर त्याचं ताक तयार झालं. शिवाय लोण्याला कढवलं तर त्याचं तूप तयार झालं. पण मुळात दूधच नसतं तर हे बाकीचं तयार झालं असतं काय? नाही. त्याप्रमाणेच बाह्यबल आणि विस्थापन नसतं तर वेग, त्वरण/मंदन, संवेग या शक्यताच निर्माण झाल्या नसत्या. म्हणूनच या संदर्भात आपण म्हणू शकतो की दुधापासून होणारी ती काळाची फलिते आहेत..केवळ या अर्थी की दूधापासून काही काळानंतर अनुक्रमे दही, ताक, लोणी, व तूप ही निर्माण होतात..या ठिकाणी कारणे मात्र दुधावरील प्रक्रीया हे आहे. सांगायचा मुद्दा एवढाच की काळाचे फलित(function of time) याचा अर्थ केवळ काळाच्या मोजपट्टीवर(on the scale of time) एवढाच घ्यायचा. विस्थापन हे काळामुळे होतंय असा अर्थ घ्यायचा नाही. यात काळ हा कारण नाही. बाह्यबल हेच मुख्य कारण. काळ ही केवळ स्थिती-गती चौकट(frame of reference) किंवा मोजपट्टी! ”

“ते  ठिक आहे राजा..पण या फलिताचा इथे काय रे संबंध?”

“वेताळा एकदा का तू s = f(t) हे मान्य केलेस की आपण अर्धी लढाई जिंकली. दुधावर प्रक्रीया करून जसे दही व दह्याचे घुसळून ताक तयार करते तशीच विस्थापनावर विखंडन प्रक्रीया करून वेग आणि वेगावर पुन्हा विखंडन करून त्वरण/मंदन मिळवता येते. पण केवळ दूध नुसतेच ठेवून दिले तर त्याचे कालांतराने आपोआप दही, ताक होईलच असे नाही, ते नासूनही जाईल. तात्पर्य एवढंच की इथेही काळ ही मोजपट्टीच.

f (t) = s
याचे पहिले विखंडन (derivative) म्हणजे
f’(t) = ds/dt = v जसे दुधापासून दही.
पुन्हा या वेगाचे विखंडन केले म्हणजे
f’’(t) = dv/dt = a” जसे दह्यापासून ताक.
“पण राजा ह्यातून काय अर्थबोध घ्यायचा? काही उदाहरण देशील की नाही?”
“हो..हो वेताळा..s एवढे विस्थापन होण्यासाठी t हा काळ लागला. आता  याच विस्थापनाची काही निरीक्षणे नोंदवू. शिवाय असेही गृहित धरूया की विस्थपन होताना ते एकसमान सरासरी वेगाने (constant average velocity) होत आहे. म्हणजे त्वरण शून्य (zero acceleration). तर अशा काही विस्थापनांचा आपण विस्थापन-काळ(displacement-time) आलेख काढूया.

वेताळा याकडे अनेक गणितज्ञांनी आणि भौतिकींनी वेगवेगळ्या पद्धतीने बघितले. एकाच सोप्या वाटाणाऱ्या गोष्टीपासून मानवाची बुद्धी किती अर्थ काढू शकते पाहा:

• केवळ या रेषेकडे पाहिल्यास आपणास म्हणता  येते की त्या रेषेची चढण(slope) ही एकसमान असून ती चढण =  २/१=४/२=६/३=८/४=१०/५ म्हणजेच २ ही चढण आहे.
• दुसरे म्हणजे s = f(t) या न्यायाने पाहिल्यास प्रत्येक ठिकाणी 2=f(1), 4=f(2) असा एकसमान धागा दिसतो.
• x आणि y अक्ष आणि आलेखाच्या बाबतीत बोलायचे झाल्यास..Y=2 x X असे या रेषेचे समीकरण आपल्याला मिळते. यावरूनच आपल्याला कळते की हे एकरेषीय समीकरण आहे(linear equation).
• शिवाय याचा प्रथम विखंडित(primary derivative) काढल्यास असे दिसते की v = ds/dt = 2/1=4/2=6/3…10/5..म्हणजे वस्तूचा एकसमान वेग २ एकक/सेकंद इतका आहे.”

“म्हणजे राजा तुला असे म्हणायचंय की विस्थापनाचा प्रथम विखंडित (primary derivative of displacement) वेग म्हणजेच विस्थापन-काळ आलेखाची चढण(slope of displacement-time graph). थोडक्यात वेग किंवा विस्थापनाच्या बदलाचा दर म्हणजेच त्या आलेखाच्या चढाचा दर?”

“अगदी बरोबर वेताळा!!! आणि जर ही चाल एकसमान सरासरी वेगाची असेल तर ते समीकरण y=2x अशा रितीने दाखविले जाऊ शकते. शिवाय ते समीकरण मुळारंभातून(origin) जाते ते थेट अज्ञातापर्यंत जाते. शिवाय समीकरणामुळे व चढण कळल्यामुळे अजून निरीक्षणे घ्यायची गरज नाही. काम फत्ते.”

“पण राजा हे केवळ प्रथम फलितालाच लागू होतं का?”

“हो. पण इथे एक गंमत आहे. विस्थापन-काळ(displacement-time) आलेखाची चढण(slope) वेग दाखवते. पण जर वेग-काळ(velocity-time) आलेख काढला तर त्याची चढण त्वरण/मंदन दाखवते. एक उदाहरण देतो. समजा एखादी वस्तू एकसमान त्वरणाने(constant acceleration) जात असेल तर आलेख खालीलप्रमाणे दिसतो.

“ म्हणजे या आलेखाची चढण हाच या वेगाशी संबंधित त्वरण..मग या आलेखाशी संबंधित सूत्र काय?”

“वेताळा एकसमान त्वरण असल्याने या गतीचा आलेख एका रेषेतच जातोय हे स्पष्ट आहे. म्हणजेच समीकरणाच्या भाषेत हे एकरेषीय समीकरण(linear equation) आहे. रेषीय समीकरण हे पुढील सर्व साधारण सूत्राने दाखवले जाते.
Y = m X + C
याठिकाणी
X = मोजपट्टीसाठी वापरली जाणारी राशी. एखाद्या भौतिक राशीत काळानुसार बदल मोजायचा असेल तर इथे काळ ही राशीच असते.
m = आलेख रेषेचा चढ किंवा प्रथम विखंड (primary derivative) विस्थापन-काळ आलेख असेल तर m=वेग. वेग-काळ आलेख असेल तर m=त्वरण
C = मोजमापासाठी घड्याळ लावण्याआधी असलेली भौतिक राशीची किंमत. उदाहरणार्थ मुंगीने नारळाच्या झाडाच्या मध्यातून चढायला सुरुवात केली असेल तर तिथपर्यंतची उंची C मध्ये येणार. जर विस्थापन जमिनीपासून मोजत गेले तर C = ०.
Y = ज्या भौतिक राशीतला बदल मोजायचा ती राशी. उदाहरणार्थ विस्थापन, वेग इत्यादि.

“मग राजा ३ मी/सेकंद या एकसमान सरासरी वेगाने वस्तू जात असेल आणि मुंगी २ मी. उंचीवरून चढायला लागली तर हे समीकरण असे असणार?”

“वेताळा जर विस्थापन-काळ आलेख असेल तर वेग = m = ३मी/सेकंद असणार. Y = 3 X + C हे समीकरण असणार. यात C= 2 घेऊन Y = 3x+2 असे समीकरण असणार.

पण वेग – काळ आलेख काढला तर एकसमान वेग म्हणजे त्वरण(acceleration) = m = ०. म्हणून ही वेगरेषा २ मी अंतरावर काळाला समांतर धावणार. ”

“पण मग राजा जर त्वरणही असेल आणि ते  सारखे बदलत असेल तर कसे मोजणार? काय हे अर्धवट उत्तरे देतोस सारखी..पण रात्रीचा प्रहर मात्र  सरला..मी चाललो..पुन्हा भेटू राजा..आता महालात परत जायला तुला एकसमान त्वरणाने जावं लागेल..घाई कर..हाऽहाऽऽहाऽऽऽ”

विक्रम राजा रथाकडे चालत येत असताना रथाचा एक घोडा दुसऱ्याला विचारत होता

“जंगलापासून आपला रथ २ किमी वर आहे. आपण ३०किमी/ तास या एकसमान सरासरी वेगाने गेलो तर महालात जायला किती वेळ लागेल?”

दुसरा म्हणाला “अरे घोड्या, तू घोडा आहेस,माणूस नाहीस..चारा संपव पटकन..ते बघ महाराज पोहोचतायत..आपल्याला निघावं लागेल!”

(क्रमश:)

मुख्य पान: विक्रम आणि वेताळ पदार्थविज्ञानाच्या जंगलात