वेग = विस्थापनाच्या रेषीय समीकरणाची चढण (velocity = slope of the linear equation of displacement)

विक्रम हा एक राजा. ‘राजा कालस्य कारणम्’ या न्यायाने आजुबाजूला घडणाऱ्या गोष्टींची माहिती त्याला असणं साहजिकच. आणि बऱ्याचश्या आर्थिक, सामाजिक धोरणांचा तोच कर्ता-करविता. राज्यात हे सर्व करायला अष्टप्रधान, सेवक, अधिकारी असले तरीही सर्व राज्याच्या रथाची सूत्रे राजाच्याच हाती. वरवर पाहणाऱ्याला प्रत्यक्ष राजाचा सहभाग दिसत नसला तरीही जाणकाराला मात्र तो जाणवल्या शिवाय राहत नसे. फलिते काही असली तरीही सर्व सूत्रे व समीकरणे राजाच्याच दरबारातून आणि खलबतखान्यातून हलविली जात.

अश्याच काही भावी समीकरणांची जुळवाजुळव राजाच्या मनात चालली असतानाच वेताळ राजाच्या पाठीवर स्वार होत्साता म्हणाला. “राजा एक चक्रवर्ती राजा म्हणून तुझ्या मांडलिक राजांना एवढ्या समीकरणांत बांधून ठेवलंस..मग विस्थापन-वेग-त्वरणादि भुतांच्या पिल्लावळीला का मोकाट सोडलयंस? का तू माझ्या पासून काही लपवित आहेस? विखंडन (differentiation or derivative ) पद्धतीचे पुराण सांगत बसलास तेव्हाच मला खात्री झाली होती की तुझी ती मुंगी झाडावर चढताना तिच्या मागे मागे जाऊन मोजमापे घेण्याइतके तुम्ही मानव कष्टाळू मुळीच नाही आहात. यासर्व विस्थापनांना त्यांच्या विकलनाशी म्हणजेच वेगाशी, किंवा वेगाला त्याच्या विकलानाशी बांधणाऱ्या काही युक्त्या तुम्ही शोधल्या असणारच..बऱ्या बोलानं सांग..नाही तर तुझ्या तलवारीने तुझेच खंड खंड करीन!”

“सांगतो वेताळा सांगतो..एखाद्या वस्तूला बाह्यबलाने ढकललं. त्याकारणाने ती वस्तू मूळ स्थानापासून दुसऱ्या ठिकाणी जाऊन विसावली. दरम्यानच्या t एवढ्या काळात तिचं s इतकं विस्थापन झालं. याठिकाणी जसा जसा काळ पुढे सरकतो तशी वस्तू जागा बदलत असल्याने वस्तूचे जागा बदलणे हे काळाच्या परिभाषेत मांडल्यास विस्थापन हे काळाचे फलित आहे (Displacement is a function of time) असे म्हणू.

S = f (t)
यात विस्थापनाची जबाबदारी मात्र काळावर ठेवलेली नाही. ते घडतंय बाह्यबलामुळेच. पण काळाचे टिकटिकणे पृथ्वीवर सर्वठिकाणी एकसमान असल्याने त्याचा केवळ संदर्भ आपण घेतोय. जसा काळ जातोय तसं विस्थापन मोजतोय. म्हणूनच या ठिकाणी काळ हा निरीक्षकाच्या स्थितीगती चौकटीतूनच पुढे सरकतोय. त्या सरकणाऱ्या काळाच्या आधारे निरीक्षकच विस्थापनादि मापे घेतोय.”

“फलित? ही काय भानगड आहे? त्याचा या सर्वांशी काय संबंध?”

“वेताळा..या पारंपारिक पदार्थविज्ञानाचा पाया हा ‘कारण-परिणाम’ (cause-effect) साखळीवर नितांत विश्वास ठेवतो. बाह्य बल (external force) हे कारण (cause)..विस्थापन(displacement) हा दिसणारा परिणाम(effect). काळ(t) ही झाली ते मोजायची स्थिर मोजपट्टी. अगदीच सोपं उदाहरण द्यायचं झालं तर दुधाचं घेता येईल. दूध असलेलं पातेलं घेतलं, त्याला विरजण लावलं तर थोड्या वेळानं दही तयार झालं. मग दही घुसळलं तर त्याचं ताक तयार झालं. शिवाय लोण्याला कढवलं तर त्याचं तूप तयार झालं. पण मुळात दूधच नसतं तर हे बाकीचं तयार झालं असतं काय? नाही. त्याप्रमाणेच बाह्यबल आणि विस्थापन नसतं तर वेग, त्वरण/मंदन, संवेग या शक्यताच निर्माण झाल्या नसत्या. म्हणूनच या संदर्भात आपण म्हणू शकतो की दुधापासून होणारी ती काळाची फलिते आहेत..केवळ या अर्थी की दूधापासून काही काळानंतर अनुक्रमे दही, ताक, लोणी, व तूप ही निर्माण होतात..या ठिकाणी कारणे मात्र दुधावरील प्रक्रीया हे आहे. सांगायचा मुद्दा एवढाच की काळाचे फलित(function of time) याचा अर्थ केवळ काळाच्या मोजपट्टीवर(on the scale of time) एवढाच घ्यायचा. विस्थापन हे काळामुळे होतंय असा अर्थ घ्यायचा नाही. यात काळ हा कारण नाही. बाह्यबल हेच मुख्य कारण. काळ ही केवळ स्थिती-गती चौकट(frame of reference) किंवा मोजपट्टी! ”

“ते  ठिक आहे राजा..पण या फलिताचा इथे काय रे संबंध?”

“वेताळा एकदा का तू s = f(t) हे मान्य केलेस की आपण अर्धी लढाई जिंकली. दुधावर प्रक्रीया करून जसे दही व दह्याचे घुसळून ताक तयार करते तशीच विस्थापनावर विखंडन प्रक्रीया करून वेग आणि वेगावर पुन्हा विखंडन करून त्वरण/मंदन मिळवता येते. पण केवळ दूध नुसतेच ठेवून दिले तर त्याचे कालांतराने आपोआप दही, ताक होईलच असे नाही, ते नासूनही जाईल. तात्पर्य एवढंच की इथेही काळ ही मोजपट्टीच.

f (t) = s
याचे पहिले विखंडन (derivative) म्हणजे
f’(t) = ds/dt = v जसे दुधापासून दही.
पुन्हा या वेगाचे विखंडन केले म्हणजे
f’’(t) = dv/dt = a” जसे दह्यापासून ताक.
“पण राजा ह्यातून काय अर्थबोध घ्यायचा? काही उदाहरण देशील की नाही?”
“हो..हो वेताळा..s एवढे विस्थापन होण्यासाठी t हा काळ लागला. आता  याच विस्थापनाची काही निरीक्षणे नोंदवू. शिवाय असेही गृहित धरूया की विस्थपन होताना ते एकसमान सरासरी वेगाने (constant average velocity) होत आहे. म्हणजे त्वरण शून्य (zero acceleration). तर अशा काही विस्थापनांचा आपण विस्थापन-काळ(displacement-time) आलेख काढूया.

वेताळा याकडे अनेक गणितज्ञांनी आणि भौतिकींनी वेगवेगळ्या पद्धतीने बघितले. एकाच सोप्या वाटाणाऱ्या गोष्टीपासून मानवाची बुद्धी किती अर्थ काढू शकते पाहा:

• केवळ या रेषेकडे पाहिल्यास आपणास म्हणता  येते की त्या रेषेची चढण(slope) ही एकसमान असून ती चढण =  २/१=४/२=६/३=८/४=१०/५ म्हणजेच २ ही चढण आहे.
• दुसरे म्हणजे s = f(t) या न्यायाने पाहिल्यास प्रत्येक ठिकाणी 2=f(1), 4=f(2) असा एकसमान धागा दिसतो.
• x आणि y अक्ष आणि आलेखाच्या बाबतीत बोलायचे झाल्यास..Y=2 x X असे या रेषेचे समीकरण आपल्याला मिळते. यावरूनच आपल्याला कळते की हे एकरेषीय समीकरण आहे(linear equation).
• शिवाय याचा प्रथम विखंडित(primary derivative) काढल्यास असे दिसते की v = ds/dt = 2/1=4/2=6/3…10/5..म्हणजे वस्तूचा एकसमान वेग २ एकक/सेकंद इतका आहे.”

“म्हणजे राजा तुला असे म्हणायचंय की विस्थापनाचा प्रथम विखंडित (primary derivative of displacement) वेग म्हणजेच विस्थापन-काळ आलेखाची चढण(slope of displacement-time graph). थोडक्यात वेग किंवा विस्थापनाच्या बदलाचा दर म्हणजेच त्या आलेखाच्या चढाचा दर?”

“अगदी बरोबर वेताळा!!! आणि जर ही चाल एकसमान सरासरी वेगाची असेल तर ते समीकरण y=2x अशा रितीने दाखविले जाऊ शकते. शिवाय ते समीकरण मुळारंभातून(origin) जाते ते थेट अज्ञातापर्यंत जाते. शिवाय समीकरणामुळे व चढण कळल्यामुळे अजून निरीक्षणे घ्यायची गरज नाही. काम फत्ते.”

“पण राजा हे केवळ प्रथम फलितालाच लागू होतं का?”

“हो. पण इथे एक गंमत आहे. विस्थापन-काळ(displacement-time) आलेखाची चढण(slope) वेग दाखवते. पण जर वेग-काळ(velocity-time) आलेख काढला तर त्याची चढण त्वरण/मंदन दाखवते. एक उदाहरण देतो. समजा एखादी वस्तू एकसमान त्वरणाने(constant acceleration) जात असेल तर आलेख खालीलप्रमाणे दिसतो.

“ म्हणजे या आलेखाची चढण हाच या वेगाशी संबंधित त्वरण..मग या आलेखाशी संबंधित सूत्र काय?”

“वेताळा एकसमान त्वरण असल्याने या गतीचा आलेख एका रेषेतच जातोय हे स्पष्ट आहे. म्हणजेच समीकरणाच्या भाषेत हे एकरेषीय समीकरण(linear equation) आहे. रेषीय समीकरण हे पुढील सर्व साधारण सूत्राने दाखवले जाते.
Y = m X + C
याठिकाणी
X = मोजपट्टीसाठी वापरली जाणारी राशी. एखाद्या भौतिक राशीत काळानुसार बदल मोजायचा असेल तर इथे काळ ही राशीच असते.
m = आलेख रेषेचा चढ किंवा प्रथम विखंड (primary derivative) विस्थापन-काळ आलेख असेल तर m=वेग. वेग-काळ आलेख असेल तर m=त्वरण
C = मोजमापासाठी घड्याळ लावण्याआधी असलेली भौतिक राशीची किंमत. उदाहरणार्थ मुंगीने नारळाच्या झाडाच्या मध्यातून चढायला सुरुवात केली असेल तर तिथपर्यंतची उंची C मध्ये येणार. जर विस्थापन जमिनीपासून मोजत गेले तर C = ०.
Y = ज्या भौतिक राशीतला बदल मोजायचा ती राशी. उदाहरणार्थ विस्थापन, वेग इत्यादि.

“मग राजा ३ मी/सेकंद या एकसमान सरासरी वेगाने वस्तू जात असेल आणि मुंगी २ मी. उंचीवरून चढायला लागली तर हे समीकरण असे असणार?”

“वेताळा जर विस्थापन-काळ आलेख असेल तर वेग = m = ३मी/सेकंद असणार. Y = 3 X + C हे समीकरण असणार. यात C= 2 घेऊन Y = 3x+2 असे समीकरण असणार.

पण वेग – काळ आलेख काढला तर एकसमान वेग म्हणजे त्वरण(acceleration) = m = ०. म्हणून ही वेगरेषा २ मी अंतरावर काळाला समांतर धावणार. ”

“पण मग राजा जर त्वरणही असेल आणि ते  सारखे बदलत असेल तर कसे मोजणार? काय हे अर्धवट उत्तरे देतोस सारखी..पण रात्रीचा प्रहर मात्र  सरला..मी चाललो..पुन्हा भेटू राजा..आता महालात परत जायला तुला एकसमान त्वरणाने जावं लागेल..घाई कर..हाऽहाऽऽहाऽऽऽ”

विक्रम राजा रथाकडे चालत येत असताना रथाचा एक घोडा दुसऱ्याला विचारत होता

“जंगलापासून आपला रथ २ किमी वर आहे. आपण ३०किमी/ तास या एकसमान सरासरी वेगाने गेलो तर महालात जायला किती वेळ लागेल?”

दुसरा म्हणाला “अरे घोड्या, तू घोडा आहेस,माणूस नाहीस..चारा संपव पटकन..ते बघ महाराज पोहोचतायत..आपल्याला निघावं लागेल!”

(क्रमश:)

मुख्य पान: विक्रम आणि वेताळ पदार्थविज्ञानाच्या जंगलात

विखंडन पद्धत: बदल मोजण्याची गुरुकिल्ली (Differentiation or derivatives: A tool to measure the rate of change)

बदल हा सृष्टीचा स्वभावधर्मच आहे. दिवसा मागून रात्र, उन्हाळ्याच्या झळांवर पाऊसधारांचा उतारा, शैशव-तारुण्य-वार्धक्य, चांगल्या अनुकूल काळानंतर येणारा संकट काळ अशा सृष्टीत नेमाने चालणऱ्या बदलांचा विक्रमाला पुरेसा अनुभव होताच. एक राजा असला तरीही तो एक माणूसच होता, सततच्या युद्धांनंतर त्याच्या प्रजेप्रमाणेच तो ही विश्रांतीसाठी आसुसला होता. पण तरीही त्याला पराभूत शत्रूच्या मनसुब्यांची, त्याच्या लहान सहान हालचालींची, व्यूहात्मक बदलांची माहिती ठेवावीच लागत होती. दुसरीकडे राज्यातील नद्यांना पूर आले होते. त्याचे पाणी शेती आणि घरांना वाहून नेते की काय अशी भिती निर्माण झाली होते. त्यामुळे नदीच्या पाण्याच्या पातळीत क्षणाक्षणाला होणाऱ्या बदलांची बित्तमबातमी तो ठेवत होता. त्याच विचारांमध्ये तो गर्क होता.

“हेरे काय राजा, कुठल्या तारेत चाललायस? आजकाल तुझ्या पाठीवर बसलो तरीही तुझ्या चालण्याच्या वेगात काही फरक नाही. एकसमान, एकाच लयीत चालत जातोस. पण ते जाऊदे. राजा आता मी तुला एक यक्षप्रश्नच विचारतो. इतके दिवस तू मला वेगवेगळ्या भुतांना मोजण्यासाठी तुम्हा माणसांनी तयार केलेल्या विविध परिमाणांची (Units of measure) माहिती देतोस. त्यासाठी भरभरून बोलतोस. विस्थापनाला (displacement) मीटर, वेगाला (velocity) मी/सेकंद, त्वरण/मंदनाला(acceleration) मी/सेकंद२, संवेगाला(momentum) किग्रा मी/सेकंद आणि वजनासाठी न्यूटन. पण हे मोजमाप ती भौतिक राशी एकसमान असेल तो पर्यंत कायम राहणार नाहीतर क्षणाक्षणाला बदलणार. तुम्हा माणसांच्या क्षणभंगुर जीवनाला अशी स्थिर राहणारी मापे कशी जमणार. तुमच्या मनातल्या क्षणिक टिकणाऱ्या विचारांसारखीच विस्थापने, वेग, त्वरण/मंदन, संवेग कायम बदलत राहणार. मग तुम्ही दर क्षणाला बदलणाऱ्या गोष्टी मोजण्यासाठी काही शक्कल लढवलीच असेलच ना? काय आहे ती शक्कल? लवकर सांग मला. नाहीतर तुझ्या डोक्याची शकले झालीच म्हणून समज..मला क्षणाचाही काळ लागायचा नाही तुझं क्षणभंगूर आयुष्य संपवायला!”   

“वेताळा, एखादी वस्तू जागच्या जागीच बसून राहिली असती तर पुढचे प्रश्नच नसते आले. पण सारा घोळ झालाय तो त्या बाहेरच्या बलाने ढकलल्या मुळेच. या बलामुळेच ती वस्तू  ती आरंभी जिथे होती, ज्यावेळी होती त्या पुढील काळात मूळ जागेपासून दुसरीकडे जाते (change in terms of space against the change in terms of time ) आणि सारी भुते तुटून पडतात. हे जे बदल होतात ते त्या बदलासाठी लागलेल्या काळाच्या संदर्भात मोजले जातात. शिवाय हे एकसमान गतीने होतीलच असेही नाही. म्हणूनच हे बदल (Δs) काळाच्या लहान लहान भागांच्या (Δt) किंवा तुकड्यांच्या हिशोबात मोजावे लागतात. काळाचा हा भाग एका युगा पासून एका क्षणापर्यंत कितीही बदलता येऊ शकतो. या पद्धतीलाच विकलन, विखंडन (differentiation) पद्धत म्हणतात.”

“झाले तुझे शब्दांचे खेळ सुरू. नीट उलगडून सांग”

“याचा अर्थ कुठल्याही बदलाचे कालसापेक्ष लहान लहान तुकडे करत जाणे आणि काळाच्या त्या लहानशा तुकड्यात किती बदल झाले ते  पाहणे. थोडक्यात स्थूलातून सूक्ष्मात जाणे (zoom in). यालाच त्या बदलाचा दर असेही आपण म्हणतो. पण हा सरासरी दर नाही. असं बघ वेताळा, समोरून एखादा डोंगर तुला दिसतो आणि तू म्हणतोस अरे हा डोंगर तर हिरवागार आहे. हे झाले ढोबळ विधान.

पण कोणी विचारले की या डोंगरावरील हिरवळीचे प्रमाण कसे कसे बदलते हे सांग तर तुला निव्वळ हिरवेगार असे म्हणून नाही भागणार. तर तुला त्या डोंगराच्या पायथ्यावर, माथ्यावर, उंचीच्या प्रत्येक लहान लहान टप्प्यावर, प्रत्येक ठिकाणी किती झाडी आहे याचा अभ्यास करावा लागतो. यासाठी आपण त्या डोंगराचे लहान लहान चौकोनात विभाजन केले आणि त्या चौकोनातील झाडांच्या संख्येनुसार त्या चौकोनाला गडद हिरव्यापासून(दाट झाडी) ते हिरवट पांढऱ्यापर्यंत (अतिविरळ झाडी) रंग दिला तर ते चित्र खालील प्रमाणे दिसेल. यात आपल्याला हे लक्षात आले की डोंगराचा रंग हिरवाच असला तरीही आता त्याला छटा आल्या. ढोबळ हिरव्या डोंगरापासून ते डोंगराच्या वेगवेगळ्या भागावरील झाडीच्या वेगवेगळ्या हिरव्या छटा  काढत येणे यालाच विकलन किंवा विखंडन म्हणतात. तुला हेही लक्षात येईल की चोकोनाचा आकार जसा जसा लहान होत जाईल तस तसा डोंगरावरील हिरवाईत होणाऱ्या बदलाचे अधिकाधिक कंगोरे आपल्याला लक्षात येऊ लागतील. एकुणात काय तर ढोबळमाना कडून सूक्ष्मतेकडे जाणे व सूक्ष्मातील बदलांचे कंगोरे पाहणे हा या विखंडन पद्धतीचा मूलभूत विचार होय.”

“म्हणजे राजा बदल केवळ कालसापेक्षच असला पाहिजे असे नाही?”

“अगदी योग्य. नक्की कशातला बदल मोजायचा आहे आणि कशाच्या संदर्भात मोजायचा आहे हे मोजणाऱ्याने ठरवायचे. मग एखाद्या माणसाचे केस आधी काळे होते ते कसेकसे पांढरे होत गेले, भुंग्याने लाकूड किंवा घुशीने जमीन कशी पोखरत नेली, राज्याचा आकार कसा वाढत किंवा घटत गेला, दर वर्षीचे उत्पन्न कसेकसे बदलत गेले, नदीला आलेल्या पुराचे पाणी दिवसेंदिवस कसे पसरत गेले, जंगलतोडीमुळे डोंगरावरील हिरवाई वरचेवर कशी कमी होत गेली, शत्रुसैन्याची सीमेवरील मोर्चेबंदी आणि युद्धाची तयारी वरचेवर कशी बदलत गेली या कशाचाही समावेश होऊ शकतो. यात बदलाचा स्थलसापेक्ष दर म्हणजे झाडांची विभागवार घनता, शत्रूची जागोजागची मोर्चेबांधणी, शेतीचे विभागवार उत्पन्न किंवा काल सापेक्ष बदल म्हणजे प्रतिवर्षीचे पर्जन्यमान, प्रतिवर्षीचे उत्पन्न, दरमहिन्याची आवक, दर आठवड्याची राज्यात येणाऱ्यांची संख्या, दर दिवसाचे मजुरांचे उत्पन्न, दर तासाला शत्रूसैन्याची होणारी आगेकूच, दर मिनिटाला पडणारे हृदयाचे ठोके, दर सेकंदाला होणारे...”

“पुरे पुरे..पण राजा म्हणजे यात मोजणाऱ्यानेच सर्व ठरवायचे..पण यात संख्यात्मक बदल (quantitative change) आणि गुणात्मक बदल (qualitative change) यांच्या बदलाचा दर कसा मोजायचा?”

“एक समजायला सोपे उदाहरण घेऊ. समुद्रकिनाऱ्यावर एक मुंगी आहे. तेथील एका नारळाच्या झाडावर चढून तिला नारळपाणी चाखायचे आहे. तर त्या झाडावर चढताना तिचा वेग कसा कसा बदलत होता? याचा अभ्यास आपण संख्यात्मक आणि गुणात्मक दोन्ही पद्धतीने करू शकतो.”

केवळ संख्यात्मक दृष्टीने पाहिल्यास, हे नारळाचे झाड चढण्यासाठी मुंगीला २४ पायऱ्या चढाव्या लागतील. पण गुणात्मक दृष्टीने पाहिल्यास मात्र प्रत्येक पायरीसाठी मुंगीला कापावे लागलेले अंतर, त्यासाठी तिला पार करावे लागलेले चढ-उतार, सोसावे लागलेले ऊन-पाऊस, गुरुत्वाकर्षणाविरुद्ध लावावी लागलेली ताकद या आणि अशा सर्वच गोष्टींचा विचार करावा लागतो”

“विक्रमा केवळ मुंगीने केलेल्या विस्थापनाबद्दलच बोल..त्यासाठी लागलेल्या सूक्ष्मकाळाबद्दल बोल..म्हणजेच त्या क्षणिक वेगाबद्दल बोल..”

“होय वेताळा..त्या प्रत्येक पायरी वरील सूक्ष्म अंतर, त्यासाठी लागलेला सूक्ष्म काळ, पर्यायाने त्या पायरीवरचा सूक्ष्मकाळासाठीचा वेग खालील प्रमाणे..”

पायरी क्र.	सूक्ष्म अंतर (Δs)	लागलेला वेळ (Δt) (seconds)	क्षणिक वेग (Δv = Δs/ Δt ) cm/second	पायरी क्र.	सूक्ष्म अंतर (Δs)	लागलेला वेळ (Δt) (seconds)	क्षणिक वेग (Δv = Δs/ Δt ) cm/second
१	3 cm	2	1.5	१३	2cm	2	1
२	3cm	2	1.5	१४	1.5cm	1	1.5
३	4cm	2.5	1.6	१५	2.5cm	1	2.5
४	3cm	2	1.5	१६	1cm	2	.5
५	3cm	2	1.5	१७	1.5cm	1	1.5
६	2cm	1.5	1.34	१८	2cm	.5	4
७	4cm	3	1.34	१९	2cm	3	.67
८	2cm	2	1	२०	2.5cm	1	2.5
९	2cm	3	.67	२१	.75cm	3	.25
१०	3cm	2	1.5	२२	.75cm	3	.25
११	2cm	2	1	२३	.75cm	2	.4
१२	3cm	4	.75	२४	.5cm	2	.25

आपण हीच गोष्ट आलेखातूनही पाहू शकतो..

तिच्या पूर्ण प्रवासातील पायरीगणिक बदलणारे अंतर, त्यासाठी लागलेला काळ आणि त्या पायरीसाठीचा वेग या सर्व गोष्टी वरील आलेखात स्पष्ट दिसतात. हे झालं तुझ्या प्रश्नाचं उत्तर...हीच ती बदलाचा दर(rate of change) मोजण्याची गुरुकिल्ली”

“पण विक्रमा हे जे काही तू सांगितलंस, ही जी काही लांबड लावलीस ती तू आलेखाच्या भाषेत आधीच सांगू शकला असतास..पण तरीही हा बदलाचा दर तू भूमितीच्या भाषेत सांगू शकतोस का? पण आज तरी मला ते ऐकायला वेळ नाही. हा मी निघतो...पुन्हा भेटू..हाऽहाऽऽहाऽऽऽ

वेताळाचा आवाज जसा हवेत विरत गेला तसे पलिकडील एका झाडावर बसलेला विक्रमाच्या गुप्तहेर पथकातला एक घुबड जोरजोरात किंचाळत जाणाऱ्या टिटवीला ओरडला “ए टिटवे, अगं किती जोरात ओरडतेस? पण तुला माहित आहे का की तू कितीही जोरात ओरडलीस तरीही तुझा आवाज काही अंतरावर गेला की हळू हळू बारीक होत जातो..किती बारीक होतो माहित आहे का तुला?”

“अरे घुबडा, हेर तू आहेस..विखंडन पद्धत शिकलास ना? वापर मग...” टी टी टी करत आणि कुत्सित पणे हसत टिटवी निघून गेली...

(क्रमश:)

मुख्य पान: विक्रम आणि वेताळ पदार्थविज्ञानाच्या जंगलात

गतिविषयक समीकरणे: विस्थापन, वेग, त्वरण यांना सांधणारे दुवे आणि भास्कराचार्यांची लीलावती(Kinematic Equations and Bhaskaracharya)

राजा विक्रम शत्रूंच्या कारवायांमुळे चिंतातूर झाला होता. शत्रूंचे हेर राज्यात नर्तक, खेळाडू, व्यापारी, साधू-सन्याशी, चोर, डाकू, जवाहिरे अशा सर्व प्रकारच्या रूपांमध्ये फिरत होते.त्यांना शोधून काढणे महाकठीण काम होते. त्या सर्वांचे काही लागेबांधे, काही सूत्र खासच होते. पण ते काय हे कळत नव्हते. त्याची चिंता करत करत विक्रमाने सवयीनेच ते शव खांद्यावर घेतले व तो चालू लागला. चंद्राचे अमावस्येला लुप्त होणे, मग राजाने जंगलाकडे निघणे, वेताळाशी विज्ञानातील भुतांविषयी बोलणे आणि संपता –संपता  वेताळाने चकवा देऊन निघून जाणे हेच एक सूत्र बनले होते.

“राजा, किती रे विचारांचे गुंते निर्माण कसतोस आणि मग ते सोडविण्यासाठी सूत्रे शोधत बसतोस. आपणच गुंते निर्माण करायचे आणि आपणच ते सोडवत बसायचे हा मानवांचा आवडता छंदच आहे. पण एखाद्या बाह्यबळाने (external force) ढकलून दिल्यावर जी भूतांची पिल्लावळ त्या वस्तूच्या मानगुटीवर बसते त्यांना ओळखण्याचं काही सूत्र आहे का? विस्थापन (displacement), वेग(velocity), त्वरण(acceleration)-मंदन(deceleration) यांना जोडणारं काही सूत्र तुम्ही शोधलंय का?”

“वेताळा माणसाच्या बुद्धी वापरण्याच्या सवयी तू चांगलाच ओळखतोस. मानवाने प्रथम विस्थापन आणि वेग यांच्यातला संबंध कल-विकलांच्या सहाय्याने प्रस्थापित केला. मग त्यानंतर तेच तंत्र वापरून वेग आणि त्वरण-मंदन यांच्यातला संबंध प्रस्थापित केला. साहजिकच आता विस्थापनाचा थेट त्वरण-मंदनाशी संबंध जोडण्याचा प्रयत्न माणसाने केला आणि समीकरणे शोधून काढली. तसं पाहायचं तर डोळ्यांना फक्त या बाह्यबलामुळे वस्तू सरकलेली दिसते, पण वेग, त्वरण-मंदन, संवेग किंवा जोर आणि बळ या गोष्टी जाणिवेच्या पातळीवरच असतात. जाणिवेच्या पातळीवर असणारे बळ वापरून ती वस्तू सरकवण्याचा दृश्य परिणाम कसा काय घडला याचे कुतुहल माणसाला स्वस्थ बसू देईना व म्हणूनच या गोष्टींचा प्रत्यक्ष अभ्यास करण्याची माणसाची इच्छा झाली. त्यातूनच तो निरीक्षणे व प्रयोग करत गेला आणि निष्कर्ष काढत गेला. या बुद्धीनेच..” (आकृती १)

 “विक्रमा पुरे कर रे मानवी बुद्धीची स्तुती! ”

“सांगतो, सांगतो. समजा एखादी वस्तू बाह्यबलाने ढकलल्यामुळे काही अंतर(s) गेली. समजा तिचा निघतानाचा व

पोहोचल्यावरचा वेग(velocity) सारखाच राहिला,  तर वेग-काल आलेख (velocity-time graph) कसा दिसेल? (आकृती २)

आकृतीत दाखवल्याप्रमाणे अंतर(s) = v x t

पण याच ठिकाणी समजा वस्तूचा आरंभिचा वेग (u) मार्गक्रमण करताना वाढला व अंतिम वेग (v) जास्त झाला तर पर्यायाने त्वरण तिथे आलेच. तर वेग – काळ आलेख कसा दिसेल?” (आकृती ३)

  

या ठिकाणी असं लक्षात येतं की दर सेकंदाला वेग u, (u+at), (u+2at)…असा होत जाईल.

अंतिम वेग v ची किंमत भास्कराचार्यांच्या पुढील सूत्राने काढता येईल 

(स्रोत: Kanada’s Science of Physics – N.G. Dongre, S.G. Nene)

व्यैकपदघ्नचयो मुखयुक्स्यादन्त्यधनम् |--(लीलावती)

यात

·        मुख – first term – u,

·        अन्त्य – last term – v,

·        चय – बदल (change) – a,

·        पद – number of terms – t+1

अर्थात,  

शेवटचे पद(अन्त्य) = (एकूण पदसंख्येतून(t+1) एक कमी करणे x समान बदल(a)) +  पहिले पद (u)

किंवा v = u + at किंवा at = (v – u) किंवा t =(v-u)/a ----------------(१)”

“अरे पण राजा, त्वरण आणि विस्थापनातील संबंधाचे काय?”

“सांगतो वेताळा. सूत्ररूपात सिद्ध करायची असल्यास लीलावतीमधील खालील श्लोकाचा आधार घ्यावा लागतो 

(स्रोत: Kanada’s Science of Physics – N.G. Dongre, S.G. Nene)

मुखयुग्दलितं तत् (अन्त्यधनम्) मध्यधनम् |--(लीलावती)

सरासरी (मध्य) = (मुख + अन्त्य)/2

सरासरी वेग = (u + v)/2 = (u+u+at)/2=(2u+at)/2 = u +at/2

म्हणूनच अंतर (s) =  सरासरी वेग x काळ

S = (u+at/2)xt = ut + at²/2

थोडं भूमितीच्या भाषेत किंवा आलेखाच्या भाषेत सांगायचं झाल्यास

एकूण विस्थापन = आयताचे क्षेत्रफळ + त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ

S = u x t + (v-u)xt/2

या समीकरणात (१) प्रमाणे (v-u) = at ही किंमत घातली तर

S = ut + (at)xt/2 किंवा S = ut + 1/2at²------------- (२)

वेताळा हा पहा झाला विस्थापन आणि त्वरणातील संबंध.”

“पण राजा, जर आरंभीचा वेग, त्वरण आणि कापलेले अंतर माहित असेल तर अंतिम वेग काढता येईल का?”

“का नाही वेताळा. पण तू आता खरोखरीच माणसासारखा प्रश्न विचारलास..तर आपण सरासरी वेग सरासरी वेग  (v+u)/2 आहे असे पाहिले.

आता  कापलेले अंतर (s) = सरासरी वेग x लागलेला कालावधी = (v+u)xt/2

या समीकरणात जर समीकरण (२) वरून t=(v-u)/a अशी किंमत घातली तर

S = (v+u)x(v-u)/2a

S = (v²-u²)/2a

V²-u² = 2as म्हणजेच v² = u² + 2as ----------------(३) 

”मग आता सांगा, जर आरंभीचा वेग, त्वरण आणि कालावधी माहित असेल तर अंतिम वेग कसा काढणार?

“पहिल्या समीकरणाने” एक हुशार काजवा म्हणाला.

“आणि जर आरंभीचा वेग, त्वरण आणि विस्थापन माहित असले तर कुठले सूत्र?”

“दुसऱ्या समीकरणाने” दुसरा काजवा उत्तरली”

“आणि जर..” त्या काजव्याला थांबवता, थांबवता दुसरा काजवा म्हणाला “आता पुरे, या प्रश्नांनीच आमची डोकी खराब झाली आहेत. डोळ्यासमोर काजवे यायला लागले आहेत. आम्ही निघतो. पण भास्कराचार्यांच्या लीलावतीशिवाय ही समीकरणे मिळाली नसती हे लक्षात ठेवा.“

(क्रमश:)   

मुख्य पान: विक्रम आणि वेताळ पदार्थविज्ञानाच्या जंगलात

© अनिकेत कवठेकर