प्रदक्षिणा घालणे – स्वत:भोवती आणि दुसऱ्या भोवती (Rotational and Circular Displacement )

विक्रम राजाचं नशीब आणि वेताळाचं भेटणं यात अतूट नातंच निर्माण झालं होतं म्हणाना. विक्रम राजा एक प्रजाहित दक्ष राजा, कनवाळू राजा, धर्म-अर्थ नित्यनेमाने डोळ्यात तेल घालून जपणारा. आजही मनातल्या मनात राज्यातल्या रस्त्यांची बांधणी, डागडुजी, नवीन घाटांचे बांधकाम याविषयी मंत्र्यांशी चर्चा करून तो पुन्हा रानातल्या गूढ नशीबाच्या दिशेने चालत चालला होता. नागरिकांच्या समस्या जाणणे आणि त्यांवर उपाय शोधणे हा उद्योग विहिरीतून रहाटाने पाणी काढण्या इतकाच नित्याचा झाला होता.

“काय रे विक्रमा? मागील वेळी चक्राकार गती (circular motion) बद्दल बोलून बोलून तू भोवळ आणली होतीस. आज मी तुला एक प्रश्न विचारतो. एका विहिरीला नुकतेच पाणी लागले आहे. विहिरीच्या सर्व बाजू आतून दगडाने बांधून काढल्या आहेत. विहीरीची खोली १० मीटर भरली. मला त्यावर एक रहाट बसवायचा आहे आणि दोरीने पाणी शेंदायचे आहे. विहरीच्या तळाशी दोन मीटर पाणी आहे असे समजू. या विहिरीवर बसवायच्या रहाटाचा व्यास ०.५ मीटर असेल आणि तो रहाट विहिरीच्या वर १ मी वर फिरतो, तर प्रत्येक वेळी पाणी शेंदताना या रहाटाची किती चक्रे पूर्ण होतील? असे होताना पोहरा किती अंतर कापेल?”

“वेताळा तुझ्या प्रश्नातूनच तू मला चक्रीचाली (angular motion) विषयी आणि चक्राकार विस्थापनाविषयी (angular displacement) बोलण्याची पुन्हा संधी दिलीस. राजा या प्रश्नात चक्राकार गतीशी संबंधित दोन विस्थापनांचा समावेश आहे. रहाटाचे चाक यामध्ये स्वत:च्या अक्षा भोवती फिरते हे झाले चक्रीय विस्थापन (angular displacement). या विस्थापनामध्ये हे रहाटचक्र स्वत:च्या अक्षाभोवती किती फिरले याचा हिशेब अंशांमध्ये आणि रेडीयन मध्ये केला जातो. ह्या चाकाने स्वत:च्या अक्षाभोवती पूर्ण प्रदक्षिणा घातली तर ते पूर्ण परिवलन ३६० अंश इतके भरते. याच्या अर्धीच प्रदक्षिणा घातली तर ती भरते १८० अंश. चतकोरच प्रदक्षिणा घातली तर ती होते ९० अंश. अशारितीने या परिवलनाचे मुख्य टप्पे म्हणजे चतकोर (९० अंश), अर्धकोर (१८० अंश), पाऊण कोर (२७० अंश) आणि पूर्ण परिवलन (३६० अंश). स्वत:च्या अक्षाभोवती पूर्ण परिवलन झाल्यावर पुन: आरंभबिंदूच येतो.”

“अरेच्चा विक्रमा, म्हणजे शून्य परिवलन काय का पूर्ण परिवलन काय गोष्ट एकच?”

“नाही नाही वेताळा. प्रकारच्या विस्थापनाचे मापन करण्यासाठी आणि अशा अडचणी टाळण्या साठीच अंशांबरोबरच रेडीयन हे एककही वापरले जाते. आपल्या अक्षा भोवती पूर्ण प्रदक्षिणा घालण्यासाठी त्या चक्राला आपल्या परिघा एवढे अंतर कापावे लागते.

P = 2ΠR – समीकरण १

P = चक्राचा परीघ

R = चक्राची त्रिज्या

चक्रीय विस्थापनाच्या शब्दात बोलायचे झाल्यास

चक्रीय विस्थापन (d) = कापलेले अंशात्मक अंतर (θ) x चक्राची त्रिज्या (R)

D = θ x R – समीकरण २

समीकरण १ आणि २ यांची सांगड घातल्यास

θ x R = 2ΠR

याचाच अर्थ

पूर्ण परिवलनानंतर(३६० अंश) 2Π रेडीयन इतके अंतर कापले जाते 

पाऊण प्रदक्षिणेनंतर (२७० अंश) 2Πx3/4 इतके म्हणजे 3Π/2 रेडियन

अर्धप्रदक्षिणेनंतर (१८० अंश) 2Πx1/2 इतके म्हणजे Π रेडियन

चतकोर प्रदक्षिणेनंतर (९० अंश) 2Πx1/4 म्हणजे Π/2 रेडीयन.

आणि शून्य प्रदक्षिणेनंतर (० अंश) 2Πx0 म्हणजे ० रेडीयन

याच हिशेबाने दोन पूर्ण प्रदक्षिणा घातल्यानंतर (३६०x २ = ७२० अंश) 2Π x 2 म्हणजे 4Π रेडियन

हे झालं चक्राकार विस्थापनाविषयी. आता रहाटचक्राला जोडलेला पोहरा तर चक्राकार फिरणार नाही, कारण तो दोरखंडाबरोबर वर ओढला जाणार, म्हणजेच तो एका रेषेत प्रवास करणार (linear motion). पण दोरखंड जोपर्यंत चाकावरून जातोय तोपर्यंत तो वर्तुळाकारालाच धरून जाणार. (आकृती १)

याशिवाय दोरखंड वर ओढला तर तो रहाटाला गुंडाळला जाईल आणि पोहरा वर ओढला जाईल. म्हणून रहाटाचे चाक कायम चक्रगतीमध्ये राहील आणि दोरखंड जोपर्यंत चाकावर आहे तोपर्यंत चक्री फिरेल आणि इतर वेळी रेषेत प्रवास करेल. पोहरा वर ओढताना चक्रापर्यंत येइपर्यंत दोर चक्री फिरेल. पोहरा खाली सोडताना चक्रावरून सुटून सरळ रेषेत खाली जाईल.

“अरे विक्रमा मुद्द्याला ये. विस्थापन किती झाले? चक्राचे? पोहऱ्याचे? दोरखंडाचे किती वेटोळे पडले?”

“चक्राचा अक्ष (Axis of rotation) विहीरी पासून १ मी. अंतरावर आहे. - १

चक्राचा व्यास (diameter) .५ मीटर आहे. म्हणजे चक्राचा परीघ (perimeter) ΠD = Πx.५ = ३.१४x .५ = १.५७ मीटर – २

पोहऱ्याने कापायचे अंतर = विहिरीच्या तळापासून काठापर्यंत + काठापासून चाकापर्यंत = १० मीटर + १ मीटर – चाकाची त्रिज्या (Radius) = ११ – (.५/२) = ११ - .२५ = १०.७५ मीटर

म्हणजे पोहऱ्याचे एकरेषीय विस्थापन (linear displacement) १०.७५ मीटर इतके होईल.”

“अरे पण विक्रमा पोहोऱ्याला एवढे अंतर कापायचे असेल तर दोरखंडाची किती वेटोळे चाकाला पडतील? किंवा चाक किती वेळा पूर्ण फिरेल?”

“सांगतो वेताळा. दोर गुंडाळला जाणे म्हणजेच पूर्ण परिघाइतके अंतर कापणे. आपण पाहिले की चाकाचा परीघ १.५७ मीटर आहे. म्हणजे हे होण्यासाठी (एकरेषीय विस्थापन)/(चाकाचा परीघ) = १०.७५ / १.५७ = अंदाजे ६.७५ वळणे. म्हणजेच ६ पूर्ण वेटोळे (३६० अंश) आणि १ पाऊण (.७५) वेटोळा (२७० अंश) पडला. हे झाले चक्री विस्थापन (Angular displacement).”

“अरे वेटोळे काय सांगतोस? तुमच्या त्या रेडीयन च्या भाषेत सांग?”

“सांगतो.

·         ६ वेळा पूर्ण चक्र म्हणजे = ६ x परीघ = ६ x २Π = १२ Π रेडियन.

·         शेवटले एक पाऊण चक्र म्हणजे =३/४ x २ Π = ३Π/२ = १.५ Π रेडियन

एकूण चक्री विस्थापन = १२ Π + १.५ Π = १३.५ Π रेडीयन”

“पण विक्रमा तू मला चक्री चाली बद्दल आणि एकरेषीय चालीबद्दल आणि त्यांच्यातल्या संबंधाबद्दल काहीच सांगितले नाहीस. कसा रे तू राजा? किती पाल्हाळ लावतोस? पण आता मला ते ऐकायला वेळ नाही. मी चाललो पुन्हा आपल्या स्थानी..पुन्हा भेटू पुढच्या अमावस्येला..तो पर्यंत विचार करून ठेव..हाऽ हाऽऽ हाऽऽऽ”

विक्रमाच्या जाण्यानंतर तिथेच एका झाडाला लपेटलेल्या अजगराने हळूच डोके वर काढले व शेजारच्या पिलाला विचारले 

“माझी लांबी १० मीटर..मी १ मी व्यासाच्या वृक्षाला किती वेटोळे घालू शकतो?”

पिलू म्हणाले “तुम्हाला रेडियन मध्ये सांगू का त्यापेक्षा?”

(क्रमश:)

मुख्य पान: विक्रम आणि वेताळ पदार्थविज्ञानाच्या जंगलात

© अनिकेत कवठेकर

वळणे घेणे, वर्तुळ मार्गावर फिरणे = खेचणाऱ्या बलाचा योग्य उपयोग करणे (circular motion and centripetal force)

विचाराच्या हिंदोळ्यांवर हेलकावे खात राजा विक्रम अंधाऱ्या वाटेने चालला होता. नुकत्याच झालेल्या चक्रीवादळानं प्रजाजनांची दैना झाली होती. पावसाने राज्यातले रस्ते ओलेचिंब झाल्याने रस्त्यारस्त्यांवर अपघात होत होते. रानात चरायला गेलेली जनावरं उंच उंच कपारीपर्यंत चाऱ्याच्या शोधात जाताना गुळगुळीत झालेल्या वळण वाटांवरून घसरून खोल दरीत पडत होती. त्याच्यावरच्या उपायांचा विचार करताकरता राजा त्या झाडापाशी आला आणि वेताळ स्वार झाला.

“विक्रमा तुझ्या राज्यातली स्थिती मला माहित आहे. वरूण राजाची अवकृपा झाली आहे. प्रजाजनांना नीट चालणं, सुरक्षित रथ चालवणं अवघड झालंय. कुठल्यातरी वेताळाचा प्रकोप झाला दिसतंय? तुला माहित आहे का हे कोणामुळे होतंय ते?”

“होय वेताळा, आमचा एक असाच मित्र वेताळ आहे, घर्षण (friction) नावाचा. तो आम्हाला एका जागी उभं राहायला मदत करतो, एका सरळ रेषेत जात असू तर वळायला मदत करतो, जर वेड्यावाकड्या, वर्तुळाकार मार्गावर असू तर तिथे आम्हाला सुरक्षितपणे मार्गक्रमण करायला मदत करतो, आणि वेगात असताना वेग कमी करायला आणि पुन्हा एका जागी स्थिर व्हायला मदत करतो. पण पावसाळ्यात हे घर्षण कमी झाल्यानं हे अपघात होताहेत.”

“घर्षण म्हणजे तू घासणे या अर्थी म्हणतोस? घासण्याचा आणि वर्तुळाकार गतीचा काय संबंध आहे राजा? जर ती वस्तु घासत राहिली तर ती वर्तुळाकार मार्गावर फिरेलच कशी? मुळात ती फिरेलच कशी?”

“असं बघ वेताळा, न्यूटनचा गतीनियम सांगतो की कुठलेही बाह्यबळ काम करत नसताना एखादी वस्तू सरळ रेषेत मार्गक्रमण करीत असेल तर ती त्या सरळ रेषेत मार्गक्रमण करत राहते. समजा तू एक रथ चालवतो आहेस सरळ रस्त्यावरून आणि अचानक तुला तो रस्ता डावीकडे वळतोय असं लक्षात येतं. जर काहीही केलं नाहीस तर न्यूटनच्या गतीनियमानुसार तू सरळच जाणार व रस्त्याबाहेर पडणार. 

पण तुला तुझा जीव प्यारा असल्याने तू डावीकडे वळण घ्यायला सुरुवात करतोस. हे तू कसं करतोस, तर डाव्या बाजूला तू घोड्याला खेचतोस. जसा घोडा डावीकडे ओढला जातो तसा रथाचे डाव्या बाजूचे चाक दाबले जाते आणि चाक जमिनीशी घासले जाते. हेच ते घर्षणबळ. यामुळे ज्यावळणावरून आपण जात आहोत त्याच्या केंद्राकडे आपल्याला खेचणारे व केंद्राशी अदृश्य दोरीने बांधून ठेवणारे बळ कार्यरत होते. यालाच केंद्राकर्षी बळ (centripetal force) असेही म्हणतात. जोपर्यंत हे घासणारं बळ आपल्याला केंद्राशी बांधून ठेवतंय तोपर्यंत आपण सुरक्षितपणे वळणे घेऊ शकतो. या वळण रस्त्यावरून जाण्यालाच वळणमार्गावरील वाटचाल (circular motion) म्हणतात. यात नेहमीच पूर्ण वर्तुळ दिसेल असे नाही. एखादे छोटेसे वळण घेणे, पूर्णवर्तुळ मार्गावर रिंगण घेणे किंवा स्वत:भोवती फिरणे वा दुसऱ्या एखाद्या अक्षाभोवती फिरणे हे सर्वच येते. याची उदाहरणे म्हणजे भोवरा खेळणे, उतारावरून गडगळत येणे, दह्यात रवी घुसळणे, वर्तुळाकार मार्गावरील घोड्यांच्या शर्यती, गोफण फिरवणे, गोळाफेक करणे, जमिनीवरचा चक्रवात, पाण्यातला भोवरा किंवा पृथ्वीचे स्वत:भोवती फिरणे आणि सूर्याभोवती फिरणे हे सर्वच आले.” (आकृती १)

“अरे हो हो ते ठिक आहे, पण मग यात तुझ्या त्या विस्थापन (displacement), अंतर(distance), गती (velocity), चाल (speed) इत्यादि भुतांच्या पिल्लावळीचं काय झालं? ”

“असं बघ वेताळा, जोपर्यंत एखादे बळ केंद्राकडे खेचून धरतंय तोपर्यंतच ती वस्तू चक्रगतीमध्ये फिरत रहाते. जेव्हा हे बळ नाहिसे होते तेव्हा लगेचच ती वस्तू पुन्हा एकरेषीय गतीमध्ये परत गतिमान होते आणि तिला न्यूटनचे गतिनियम लागू होऊ लागतात. त्यामुळे प्रत्येक एकरेषीय राशीशी एक चक्राकारगतीशी संबंधित राशी असतेच असते.

	रेषीय गती (Linear Motion)	चक्रगती (Circular Motion)
विस्थापन (Displacement)	एकरेषीय विस्थापन Linear displacement	चक्रीय विस्थापन Angular displacement
अंतर (Distance)	एकरेषीय अंतर Linear distance	चक्रीय अंतर Angular distance
वेग (Velocity)	एकरेषीय वेग Linear velocity	चक्रीय वेग Angular velocity
चाल (Speed)	रेषीय चाल Linear speed	चक्रीय चाल Angular speed
त्वरण / मंदन (Acceleration / Deceleration)	रेषीय त्वरण मंदन Linear acceleration	चक्रीय त्वरण मंदन Angular acceleration
संवेग (जोर) (Momentum)	रेषीय संवेग (जोर) Linear momentum	चक्रीय संवेग (जोर)Angular momentum
बळ (Force)	रेषीय बल Linear force	केंदाकडे खेचणारे बळ (Centripetal force) किंवा बाहेर फेकणारे बळ (Centrifugal) force

“पण राजा एक सांग, ही चक्राकार गती कायम राहते की ती काही विशिष्ट काळापर्यंतच असते?”

“वेताळा मी आधी म्हटलो त्या प्रमाणे जोपर्यंत एखादी वस्तू एखाद्या वर्तुळाच्या केंद्रबिंदूभोवती, स्वत:भोवती, किंवा दुसऱ्या वस्तूभोवती किंवा एखाद्या अक्षाभोवती फिरत राहते तोपर्यंत हे निश्चित समजावे की कोणतीतरी खेचक शक्ती कार्यरत आहे. ही शक्ती एकतर केंद्राकडे खेचते (पृथ्वीचे सूर्याभोवती फिरणे, भोवरा, चक्रीवादळ) किंवा बाहेर फेकते (गोळाफेक करणे, रवीने घुसळणे).  (आकृती २)”

जोपर्यंत हे बळ कार्यरत आहे तोपर्यंतच चक्रगती कायम राहते. भोवऱ्यात सापडलेल्या माणसाला बाहेर यायचे असेल तर भोवऱ्याच्या केंद्राशी तळापर्यंत जावे लागते किंवा अधिक ताकद लावून बाहेर यावे लागते. म्हणजेच भोवऱ्यामध्ये केंद्राकडे खेचणारे (centripetal) बळ असते. याउलट एखादा खेळाडू गोळाफेक करत असतो तेव्हा तो स्वत:भोवती गरागरा फिरतो आणि एकदम गोळा फेकून देतो. म्हणजेच यात बाहेर ढकलणारे (centrifugal) बल तो लावतो. या ढकलणाऱ्या बळाचे दुसरे उदाहरण म्हणजे दही घुसळून ताक तयार करणे. यात लोण्याचे बारिक बारिक कण बाहेर फेकले जातात व पृष्ठभागावर येतात. काही वेळाने लोण्याचा थर तयार होतो आणि खाली फक्त ताक राहते. आपल्या पुराणांमध्येही समुद्रमंथनाची गोष्ट प्रसिद्ध आहे. या समुद्रमंथनातूनच अनेक दिव्य रत्ने आपल्याला मिळाली. त्यामुळे हे केंद्राबाहेर ढकलणारे बळ अतिशय महत्त्वाचे आहे.”

“अरे विक्रमा तू म्हणतोस की वळणे घेण्यासाठी, वर्तुळ मार्गावर फिरण्यासाठी घर्षणबलाचा उपयोग होतो. मग काय सर्वच चक्रगतींना घर्षणाची गरज असते?”

“तसं नाही वेताळा. आपल्या वळणे घेण्याच्या कामात रथाचे चाक आणि रस्ता यांचा संपर्क येत असल्याने आपण घर्षणाबद्दल बोललो. घर्षण हे त्या ठिकाणी केंद्राकडे  खेचणाऱ्या बलाचे कार्य करते म्हणून ते महत्त्वाचे आहे. जमिनीवरील चक्रवातांची निर्मिती कमी दाबाच्या भागाकडे अधिक दाबाच्या प्रदेशातून वारे वाहू लागून होते.  याठिकाणी हवेच्यादाबातील फरक या गतीला कारण ठरतो. जोपर्यंत वारे वाहत राहतात तोपर्यंत ही वादळे कायम राहतात. पण वाऱ्याचा वेग वा दिशा बदलली किंवा मार्गात एखादा मोठा अडथळा आला तर ह्या चक्राचा भेद होतो आणि वारे निसटून पुन्हा सरळ वाहू लागतात. पृथ्वीही सूर्याच्या गुरुत्त्वबळामुळे सूर्याभोवती फिरते. याठिकाणी सूर्याचे गुरुत्त्वबळ या केंद्राकडे खेचणाऱ्या बलाची भुमिका बजावते.”

“विक्रमा तुला प्रश्न विचारला की तु असाच प्रश्नाभोवती फिरत राहतोस. तुम्हा मनुष्यांच्या आयुष्यालाच हे चक्र चिकटलेले आहे. मग ती रोजच्या जगण्यातली चाकोरी असो, ऋतुचक्र असो, जन्म-मृत्युचक्र असो, परचक्र असो, किंवा त्याला भेदणारे भगवान श्रीकृष्णासारखे चक्रधारी असोत. मी अजूनही बोलू शकतो पण मी त्या चक्रात अडकलेला नाही आणि त्याविषयी सांगत बसायला मी मनुष्यही नाही. मला तितका वेळही नाही. पण या चक्रगतीतील विस्थापन, वेग, त्त्वरण मंदन यांची काहीच माहिती तुला दिसत नाही. असो. पण हा मी चाललो आता. तू रहा असाच चक्रात फिरत हाऽहाऽऽ हाऽऽऽ”

पाऊस थांबला होता. पाणी साचून डबकी साचली होती आणि बेडूक छोट्या भोवऱ्यांना टाळत उड्या मारत होते. उड्या मारताना पिल्लांना शिकवत होते.

• पाण्याच्या भोवऱ्यात असते ती चक्राकार गती. वाहत्या पाण्यात असते ती एकरेषीय गती.
• भोवऱ्यात लहान वस्तू अडकली तर ती चक्राकार गतीमध्ये गतीमान होते. भोवरा त्या वस्तूला केंद्राकडे खेचतो आणि वस्तू त्या केंद्राशी पोहोचल्यावर तळाशी जाते व भोवऱ्यातून सुटते.
• भोवऱ्यात मोठा दगड टाकला किंवा अडथळा आला तर तो फुटतो व पाणी पुन्हा एकरेषीय गतीमध्ये गतिमान होतं.
• याचा नीट कर सराव..नसत्या चक्रात अडकू नका राव..डराऽऽव डराऽऽव

(क्रमश:)

मूळ पान: विक्रम आणि वेताळ पदार्थविज्ञानाच्या जंगलात

© अनिकेत कवठेकर